Si librum in mensa impellis donec moveatur, opus in libro facis. Si res ad superficiem terrae cadit quia vi gravitatis trahitur, tum vis gravitatis opus in re facit. Contra, si rem totis viribus impellis donec sudore perfusus sis sed res non movetur, tum opus in re non fecisti. In vita cotidiana, alii dicunt te laborem fecisse vel laborasse ut rem impelleres, sed secundum physicam , opus in re non fecisti quia res dislocationem non patitur.
Opus in rem fieri potest vi constanti (magnitudo et directio vis semper eadem manent) vel vi variabili (magnitudo et directio vis semper mutantur). Exemplum vis quae constantis est magnitudine et directione est vis gravitatis agens in rem cum res prope superficiem Telluris est. Cum res in caduta libera prope superficiem Telluris est, magnitudo et directio accelerationis casus liberi rei constantes sunt quia magnitudo et directio vis gravitatis rem accelerantis constantes sunt. Exemplum vis quae non est constantis magnitudine (directio vis constans est) est vis fontis . Si fontis extendis, quo maior est incrementum longitudinis fontis, eo vehementius trahis. Magnitudo vis exercitae in fontis non est constans dum fontis extenditur. Aliud exemplum est cum fusa in spatium iter facit vel ad superficiem Telluris redit. Cum fusa in motu est, magnitudo vis gravitatis agentis in fusam mutatur inverse proportionali quadrato distantiae a centro Telluris.
Mathematice, opus a vi constanti in objectum factum definitur ut productum ex motu motus multiplicatum per vim vel per componentem vis in directionem motus motus objecti.
Opus a vi inconstanti, ut puta a fonte, factum non potest computari formula operis a vi constanti. Si fons extenditur, cum fons ulterius extenditur, vis tensile necessaria ad fontem extendendum etiam maior fit. Similiter, si fons comprimitur, cum fons constrictior est, vis impulsiva necessaria etiam maior est. Dummodo fons premitur vel extenditur, vis fontis mutatur a 0 (x = 0) ad maximum (F = kx), ergo vis fontis computatur utens media.
Exempla problematum
1. Quaestiones Examinis Nationalis 2018
Massa massae m in superficie plana et levi iacet. Massa in loco (1) quiescit et vi F ad locum (2) intra intervallum temporis t trahitur, ut in figura demonstratur.
Variando massam et vim, haec data obtinentur:
Ex tabula supra, opus ab obiectis a maximo ad minimum perfectum est…
Disputatio
Notum est:
Velocitas initialis (v o ) = 0
Rogatus/a:
Responsum:
Formula laboris:
W = F s ………. Formula 1
Formula GLBB:
s = v o t + 1/2 apud 2
s = 1/2 apud 2
In formulam 1 substitue
W = F ( 1/2 apud 2 ) ………. Formula 2
Formula vis:
F = ma
a = F / m
In formulam 2 substitue
W = 0,5 F (F/m) t²
W = 0,5 (F² / m) t² ……… . Formula 3
Formulam 3 ad laborem computandum adhibe.
1) W = 0,5 (F² / m) t² = 0,5 (3² / 12)(4² ) = (0,5)(9/12)(16) = (9/12) 8 = 6
2) W = 0,5 (F² / m) t² = 0,5 (4² / 16)(3² ) = (0,5)(16/16)(9) = (1) 4,5 = 4,5
3) W = 0,5 (F² / m) t² = 0,5 (5² / 20)(2² ) = (0,5)(25/20)(4) = (1,25) 2 = 2,5
4) W = 0,5 (F² / m) t² = 0,5 (6² / 24)(1² ) = (0,5)(36/24)(1) = (1,5) 0,5 = 0,75
Opus ab obiectis a maximo ad minimum perfectum est 1, 2, 3, 4.
2. Quaestiones Examinationis Nationalis anni 2017 pro Schola Superiore/Schola Superiore Professionali
Arca 6 kg in plano inclinato aspero cum angulo inclinationis α ad planum horizontale celeritate 8 m/s⁻¹ labitur . Si vis frictionis in arcam agens 5 N est et tan α = 3/4, tum vis F quae adhibenda est ad arcam in fundo plani inclinati sistendam est…
A. CLXXX N
B. 25 N
C. 45 N
D. 55 N
E. 69,4 N
Disputatio
Constat:
Massa cistae (m) = 6 kg
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ s²
Velocitas initialis arcae (v o ) = 8 m/s
Celeritas finalis arcae (vt ) = 0 m/s (arca subsistere debet antequam fundum plani inclinati attingat)
Vis frictionalis (F frictio ) = 5 N
Tangens α = pars anterior / pars inferior = 3/4
Hypotenusa = 5 metra
Rogatum: F.
Responsum:
Theorema laboris mechanici et energiae:
Opus a vi non conservativa factum = mutatio energiae mechanicae
Opus a vi non conservativa factum = mutatio energiae cineticae et potentialis.
Duae vires non conservativae sunt, nempe frictio cinetica et vis F.
Opus a vi frictionis cineticae in arca perfectum:
W = -(F ges )(s) = -(5)(5) = -25
Negativum quia directio vis frictionis opposita est directioni motus arcae.
Opus a vi F perfectum:
W = (F)(s) = (F)(5) = -5F
Negativum quia directio vis F opposita est directioni motus cistae.
Mutatio energiae cineticae:
EK = 1/2 m (v t 2 - v o 2 ) = 1/2 (6)(0 2 - 8 2 ) = (3)(0-64) = (3)(-64) = -192
Mutatio energiae potentialis gravitationalis:
Δ EP = mgh = (6)(10)(-3) = -180
h negativum est quia positio finalis infra positionem initialem est.
Theorema laboris mechanici et energiae:
W nc = Δ EM
W ges + W F = Δ EP + Δ EK
-25 – 5°F = -180 -192
-25 – 5°F = -372
-5°F = -372 + 25
-5F = –347
F = -347 / -5
F = 69,4 Newtoni
Responsum rectum est E.
3. Quaestiones Examinationis Nationalis anni 2017 pro Schola Superiore/Schola Superiore Professionali
Massa decem chiliogrammatum a puncto A trans B deorsum labitur et ad punctum C subsistit, ut in figura demonstratur. Coefficiens frictionis cineticae inter massam et superficiem asperam est 0,2, ergo longitudo viae ABC est…
A. 250 cm
B. 200 cm
Circa decem centimetra
Diametros 100 cm
A. 80 cm
Disputatio
Constat:
Massa saxi (m) = 10 kg
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ s²
Pondus massae (w) = mg = (10 kg)(10 m/s² ) = 100 Newtoni
Altitudo plani inclinati (h) = 30 cm = 0,3 metra
Longitudo plani inclinati (s) = 50 cm = 0,5 metra
Coefficiens frictionis cineticae ( μk ) = 0,2
Vis frictionis cineticae (f <sub>k</sub> ) = μ <sub>k</sub> N = μ<sub> k </sub>w = (0,2)(100 N) = 20 N
Quaestio: Longitudo viae ABC
Responsum:
Motum obiecti ab puncto AB considera.
Energia mechanica initialis apud punctum A = energia potentialis gravitationalis = mgh = (10)(10)(0,3) = (10)(3) = 30 Joulia
Energia mechanica finalis in puncto B = energia cinetica
Lex conservationis energiae mechanicae:
Energia mechanica initialis = energia mechanica finalis
30 Joulia = Energia cinetica
Ergo energia cinetica in puncto B = 30 Joulia.
Motum obiecti a puncto BC considera.
Theorema energiae-laboris statuit opus a vi non conservativa factum aequale esse mutationi energiae mechanicae obiecti. Mutatio energiae mechanicae = energia mechanica finalis – energia mechanica initialis. Mathematice:
W NC = Δ EM
W NC = EM 2 – EM 1
Obiectum in superficie plana situm est ita ut energia potentialis gravitatis nulla sit. Energia mechanica (EM) = energia cinetica (EK).
Energia cinetica initialis (EK1 ) = energia cinetica ad punctum B = 30 Joules
Energia cinetica finalis (EK₂ ) = energia cinetica ad punctum C = 0 (subsidium in blocco).
Opus a vi non conservativa BC factum est opus a vi frictionis cineticae factum.
W NC = – fks = – 20 s
Sic
W NC = EK 2 – EK 1
– 20 secunda = 0 – 30
– 20 secunda = – 30
Viginti secunda = quinquaginta
s = 30/20 = 3/2 = 1,5 metra = 1,5 × 100 cm = 150 cm.
Longitudo semitae ABC = 50 cm + 150 cm = 200 cm.
Responsum rectum est B.
4. Quaestio Numerus VIII Examinis Nationalis Physicae SMA/MA 2014/2015
Inspice imaginem sequentem! Lapis in plano inclinato aspero labitur cum coefficiente frictionis 0,4. Si g = 10 ms⁻² , celeritas lapidis cum fundum plani inclinati attingit est...
A. 2√5 ms-1
B. 2 √7 ms -1
C. 2 √14 ms -1
D. 2 √19 ms -1
E. 2 √23 ms -1
Disputatio
Dum imaginem infra inspicis
Constat:
Altitudo initialis (h₂ ) = 6 m
Altitudo finalis ( ht ) = 0 m
Velocitas initialis (v o ) = 0 (initio massa quieta est)
Coefficiens frictionis cineticae ( μk ) = 0,4 ( quadratum labitur , ergo coefficiens frictionis cineticae, non coefficiens frictionis staticae )
Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms -2
cos θ = fundum / obliquum = 8/10
Pars ponderis in directione verticali = w y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m.
Vis normalis = N = w y = 8 m
Vis frictionis cineticae = fk = μk N = μk wy = ( 0,4)(8 m) = 3,2 m
Quaestio: Velocitas finalis ( vt )
Responsum:
Theorema energiae-laboris statuit opus a vi non conservativa in obiectum factum aequale esse mutationi energiae mechanicae obiecti. Exemplum vis non conservativae est frictio cinetica.
Wnc = ΔEM
W nc = Δ EK + Δ EP
dictis:
W nc = Opus a vi non conservativa factum, Δ EM = Mutatio energiae mechanicae, Δ EK = Mutatio energiae cineticae, Δ EP = Mutatio energiae potentialis.
Mutatio energiae cineticae:
ΔEK = 1/2 m (v)t2 - vo2) = 1/2 m (vt2 - 0) = 1/2 mVt2
Mutatio energiae potentialis:
Δ EP = mg (ht – h₂o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = –60 m
Opus frictionis cineticae perfectum:
Wnc = – fks = – ( 3,2 m)(10) = – 32 m
Negativum est quia vis frictionis cinetica opus negativum facit, ubi directio vis frictionis cineticae (sursum) opposita est directioni motus obiecti (deorsum).
Velocitatem finalem (vt ) computa:
Wnc = Δ EK + Δ EP
– 32 m = 1/2 mv t 2 - 60 m
– 32 m = m (1/2 v t² – 60 )
– 32 = 1/2 v t 2 – 60
– 32 + 60 = 1/2 v t²
28 = 1/2 v t²
2 (28) = v t²
56 = v t²
vt = √4.14
vt = 2 √14 ms -1
Responsum rectum est C.
5. Quaestio Numerus 8 Examinis Nationalis Physicae SMA/MA 2014/2015
Vide imaginem ad latus!
Tabula per planum inclinatum asperum labitur, ad basin plani inclinati celeritate 10 ms⁻¹ perveniens . Si vis frictionis agens est 2 N et g = 10 ms⁻² , tum valor h est …
A. 10 m
B. 8 m
Circa 6 metra
D. 4 m
E. 2 m
Disputatio
Constat:
Massa saxi (m) = 1 kg
Velocitas initialis (v o ) = 0 (initio massa quieta est)
Velocitas finalis (vt ) = 10 ms⁻¹
Altitudo initialis (h₂ ) = h
Altitudo finalis (ht ) = 0
Vis frictionis cineticae (f <sub>k</sub> ) = 2 N
Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms -2
Quaesitum: Altitudo (h)
Responsum:
Opus frictionis cineticae perfectum:
Wnc = –fks = –(2 )(15) = –30
Negativum est quia vis frictionis cinetica opus negativum facit, ubi directio vis frictionis cineticae (sursum) opposita est directioni motus obiecti (deorsum).
Mutatio energiae cineticae:
ΔEK = 1/2 m (v)t2 - vo2) = 1/2 (1)(102 - 0) = 1/2 (102) = 1/2 (100) II =
Mutatio energiae potentialis:
Δ EP = mg (h₁₀t – h₂o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h
Formula theorematis operis mechanici et energiae:
Wnc = Δ EK + Δ EP
– 30 = 50 – 10 horae
Decem horae = quinquaginta + triginta
10 horae = 80
h = 80/10
h = 8 metra
Responsum rectum est B.
