Theorema energiae cineticae laboris Affirmat opus totum sive conatum a vi totali in rem factum aequale esse mutationi energiae cineticae rei. Si vis totalis opus positivum facit (vis totalis in eadem directione est ac dislocatio), tum energia cinetica rei augetur. Contra, si vis totalis opus negativum facit (vis totalis in directione opposita dislocationi est), tum energia cinetica rei decrescit.
Wsumma = EK2 – EK1 = ½ mv22 – dimidium mv12
Si modo stilus conservativus tantum ea quae in obiecto operantur, ut in casu res libere cadentes, tum vis totalis aequalis est vi conservativae. Enuntiatum theorematis operis-energiae cineticae converti potest in opus totale, vel opus a vi conservativa factum aequale est mutationi energiae cineticae. Si vis conservativa opus positivum facit (vis conservativa in eadem directione est ac dislocatio), tum energia cinetica obiecti augetur. Contra, si vis conservativa opus negativum facit (vis conservativa in directione opposita dislocationi est), tum energia cinetica obiecti decrescit.
Wc = EK2 – EK1 = ½ mv22 – dimidium mv12
Opus a vi conservativa in obiectum factum aequale est mutationi negativae in energia potentiali obiecti. Si vis conservativa opus positivum facit, energia potentialis decrescit. Contra, si vis conservativa opus negativum facit, energia potentialis augetur.
Wc = – (EP)2 – EP1) = – mg (h2 – h1) = – mgh2 + mgh1 = mgh1 – mgh2
Ex priore recognitione, videtur esse nexus inter opus a vi conservativa in obiectum factum et mutationes in energiis cineticis et potentialibus obiecti. Si vis conservativa opus positivum facit, energia cinetica augetur, dum energia potentialis decrescit. Si vis conservativa opus negativum facit, energia cinetica decrescit, dum energia potentialis augetur.
Wc W =c
EK2 – EK1 = EP1 – EP2
EP1 + EK1 = EP2 + EK2
EM1 = EM2
dictis:
EM1 = energia mechanica initialis, EM2 = energia mechanica finalis, EP1 = energia potentialis initialis, EP2 = energia potentialis finalis, EK1 = energia cinetica initialis, EK2 = energia cinetica finalis
Exempla problematum
1. Quadrum sine velocitate initiali in summo plani inclinati aequabilis (ad punctum A) dimittitur. Quadrum ad imum plani inclinati (ad punctum E) labitur.
Si AB = BC = CD = DE, tum proportio celeritatis segmentorum apud C, D et E est…
Disputatio
Notum est:
AB + BC + CD + DE = 1
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Rogatus/a: Comparatio celeritatis quadratorum apud C, D et E.
Responsum:
Lex conservationis energiae mechanicae dicit energiam mechanicam initialem = energiam mechanicam finalem.
Energia mechanica initialis = energia potentialis gravitationalis
Energia mechanica finalis = energia cinetica
In summo, massa quiescit, ergo energia cinetica eius nulla est et energia potentialis gravitatis maxima est. Dum a summo ad imum plani inclinati movetur, energia potentialis gravitatis decrescit et in energiam cineticam convertitur. Cum imum plani inclinati attingit, energia cinetica eius maxima est et energia potentialis gravitatis nulla est.
Energia potentialis gravitationalis ad punctum A = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg
Energia cinetica ad punctum A = 1/2 mv2 = 1/2 m (02) II =
Energia potentialis gravitationalis ad punctum B = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg
Energia cinetica ad punctum B = 1/2 mv2
Energia potentialis gravitationalis ad punctum C = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg
Energia cinetica ad punctum C = 1/2 mv2
Energia potentialis gravitationalis ad punctum D = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg
Energia cinetica ad punctum D = 1/2 mv2
Energia potentialis gravitationalis ad punctum E = mgh = mg (0) = 0
Energia cinetica ad punctum E = 1/2 mv2
Energia mechanica ad punctum A = Energia potentialis gravitationis + energia cinetica = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg
Energia mechanica ad punctum B = Energia potentialis gravitationalis + energia cinetica = 3/4 mg + 1/2 mV2
Energia mechanica ad punctum C = Energia potentialis gravitationalis + energia cinetica = 2/4 mg + 1/2 mv2
Energia mechanica ad punctum D = Energia potentialis gravitationalis + energia cinetica = 1/4 mg + 1/2 mV2
Energia mechanica ad punctum E = Energia potentialis gravitationalis + energia cinetica = 0 + 1/2 mv2 = 1/2 mV2
Celeritas quadrati apud C:
Energia mechanica ad punctum C = energia mechanica initialis (energia mechanica constans)
2/4 mg + 1/2 mv2 = 4/4 mg
Dimidium milium vim2 = 4/4 mg – 2/4 mg
Dimidium milium vim2 = 2/4 mg
Dimidium milium vim2 = 1/2 mg
mv*2 = mg
v2 = g
v = √g
Celeritas blocci apud D:
Energia mechanica ad punctum D = energia mechanica initialis (energia mechanica constans)
1/4 mg + 1/2 mv2 = 4/4 mg
Dimidium milium vim2 = 4/4 mg – 1/4 mg
Dimidium milium vim2 = 3/4 mg
Dimidium vol.2 = 3/4 g
v2 = 2 (3/4) g
v2 = (6/4) g
v2 = (3/2) g
v2 = 1,5g
v = √1,5g
Celeritas quadrati apud E:
Energia mechanica ad punctum E = energia mechanica initialis (energia mechanica constans)
Dimidium milium vim2 = mg
Dimidium vol.2 = g
v2 = 2g
v = √2g
Comparatio celeritatis quadratorum apud C, D et E:
√g : √1,5g : √2g
√1 : √1,5 : √2 (multiplicatum per 2)
√2 : √3 : √4
√2 : √3 : 2
2. Vide imaginem sequentem!
Duo obiecta a puncto A per viam descendunt. Massa primi obiecti est m.1 = 5 kg et secundum obiectum m2 = 15 kg. Si acceleratio gravitatis g = 10 ms-2, deinde proportio energiae cineticae Ek1 : Ek2 in puncto B est…
A. 1:2
B. 1:3
C. 1: 9
D. 2:1
E. 3:1
Disputatio
Constat:
Massa obiecti 1 (m1) = 5 kg
Massa obiecti 2 (m2) = 15 kg
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/s2
Distantia inter puncta A et B (h) = 40 m – 30 m = 10 m
Rogatus/a: Comparatio energiae cineticae Ek1 : Ek2 ad punctum B
Responsum:
Energia potentialis gravitatis obiecti in loco A a puncto B metitur:
EP1 m =1 gh = (5 kg)(10 m/s)2)(10 m) = 500 Joulia
EP2 m =2 gh = (15 kg)(10 m/s)2)(10 m) = 1500 Joulia
Lex conservationis energiae mechanicae dicit energiam mechanicam initialem = energiam mechanicam finalem.
Energia mechanica initialis = energia potentialis gravitationalis
Energia mechanica finalis = energia cinetica
EP1 = EK1
500 Joulia = EK1
EP2 = EK2
1500 Joulia = EK2
EK1 : EK2
500: 1500
5: 15
1: 3
Responsum rectum est B.
3. Vide imaginem!
Globus massae m per planum semicirculare leve sine velocitate initiali a puncto A devolvitur. Velocitas globi ad punctum B est…
A. 10 ms-1
B. 210 ms-1
C. √10 ms-1
D. 25 ms-1
E. √5 ms-1
Disputatio
Constat:
Differentia altitudinis inter puncta A et B (h) = 4 m – 2 m = 2 metra
Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/s2
Massa marmoris (m) = m
Rogatus/a: Celeritas marmoris ad punctum B
Responsum:
Energia mechanica initialis = energia mechanica ad punctum A = energia potentialis gravitatis = mgh = (m)(10)(2) = 20m
Energia mechanica finalis = energia mechanica ad punctum B = energia cinetica = 1/2 mv2
Lex conservationis energiae mechanicae:
Energia mechanica initialis = energia mechanica finalis
20 m = 1/2 mV2
20 = 1/2 vol.2
2 (20) = v2
40 = v2
v = 40
v = √(4)(10)
v = 2√10 m/s
Responsum rectum est B.
4. SPila in cursu lubrico labitur, ut in imagine infra demonstratur.
Si celeritas pilae in puncto A est 6 ms-1, ad punctum B est √92 ms-1, et g = 10 ms-2, tum altitudo puncti B a basi semitae est…
A. 0,5 m
B. 0,5√m 2
Circa 1 metra
D. √m 2
E. 2,8 m
Disputatio
Constat:
Celeritas pilae ad punctum A (v)A) = 6 ms-1
Celeritas pilae ad punctum B (vB) = √92 ms-1
Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms-2
Altitudo A (hA) = 5,6 metra
Altitudo B (hB) = h
Rogatus/a: Kaltitudo puncti B ab imo semitae
Responsum:
Semita lubrica est, ergo nulla frictio est. Ergo sola vis in rem agens gravitas est. Gravitas vis conservativa est. Opus a vi conservativa factum non a forma semitae sed potius a mutatione positionis pendet.
Ita numerare possumus altitudo puncti B ab imo viae formula legis conservationis energiae mechanicae utens.
Energia mechanica initialis = Energia potentialis gravitationalis
Cum ad punctum A pervenit, pila nondum movetur, ergo velocitas eius nulla est. Velocitas pilae nulla est, ergo energia eius cinetica nulla est. Energia cinetica: EK = 1/2 mv2 = 1/2 m (0) = 0.
Sed pila alta est 5,6 metra a basi, ergo pila energiam potentialem gravitatis habet. Energia potentialis gravitatis: EP = mgh = m(10)(5,6) = 56 m.
Energia mechanica initialis = Energia potentialis gravitationis + Energia cinetica = 56 metra + 0 = 56 metra
Energia mechanica finalis = Energia potentialis gravitationis + Energia cinetica
Cum ad punctum B pervenias, Altitudo pilae est h. EEnergia potentialis gravitationalis: EP = mgh = m (10) h = 10 mh
Punctum B longe infra punctum A est, ergo pila adhuc certa celeritate movetur. Pila adhuc certa celeritate movetur, ergo pila energiam cineticam habet. Energia cinetica: EK = 1/2 mv.2 = 1/2 m (√92)2 = 1/2 m (92) = 46 metra
Energia mechanica finalis = Energia potentialis gravitationalis + energia cinetica = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Lex conservationis energiae mechanicae:
Energia mechanica initialis = Energia mechanica finalis
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 horas + 46
56 – 46 = 10 horae
10 = 10 horae
h = 10/10 = 1 metrum
Responsum rectum est C.
Fons quaestionis:
Quaestiones Physicae Examinationis Nationalis pro Schola Superiore Superiore/Schola Professionali
