Leges motus Newtoni – problemata et solutiones

Leges motus Newtoni – problemata et solutiones

Prima lex motus Newtoni

1. Si nulla vis netta in rem agit, tum:

(1) res non acceleratur

(2) res quiescens

(3) mutatio velocitatis obiecti = 0

(4) res velocitate constanti moveri non potest

Quae sententia recta est?

Solutio

Recta sententia:

(1) Obiectum non acceleratur.

Vis netta accelerationem obiecti efficit. Ergo si nulla vis netta est, obiecta non accelerantur.

(2) Res quiescens

Prima lex motus Newtoni dicit, si nulla vis netta in rem agit, tum rem semper quiescere vel rem semper velocitate constanti progredi.

(3) Mutatio velocitatis obiecti = 0

Mutatio velocitatis = acceleratio. Nulla mutatio velocitatis significat nullam accelerationem. Si nulla acceleratio, nulla vis netta in rem agit.

Obiectum in ascensore

2. Pondus personae in ascensore quiescentis = 500 N. Acceleratio gravitatis est 10 m/s² ^. Cum ascensor accelerat, vis tensionis est 750 N. Quae est acceleratio ascensoris?

Notum:

Pondus personae (w) = 500 Newton = 500 kg ms ^–2 (elevatio in quiete)

Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms ^–2

Massa personae (m) = 500 / 10 = 50 kg

Vis tensionis (T) = 750 N (elevatione accelerata)

Massa ascensoris neglecta.

Quaesitum: Acceleratio elevatorum

solution:

Ascensor quiescens, nulla acceleratio (a = 0). Vis sursum versus signum plus habet, vis deorsum versus signum minus.

ΣF = ma

T – w = 0

T = w

T = 30 000 Newtoni

Si elevator deorsum acceleraverit, vis tensionis minima quam 500 N. Alioquin, si elevator sursum acceleraverit, vis tensionis maior quam 500 N.

Vis tensionis = 750 N quia elevator sursum accelerat. Vis sursum agit signum plus et vis deorsum agit signum minus habent.

T – w = ma

750 – 500 = 50 a

250 = 50 a

a = 250 / 50

a = 5.0 ms ^–2

3. Persona 60 kg in ascensore deorsum acceleravit 3 m/s² ^. Si acceleratio gravitatis 10 m/s² est ^, quae est vis normalis a solo ascensoris in personam exercita?

Notum:

Massa (m) = 60 kg

Acceleratio personae et ascensoris (a) = 3 m/ ^s²

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Pondus (w) = mg = (60)(10) = 600 Newtoni

Quaesita: Vis normalis (N)

solution:

Duae vires in hominem in ascensore agunt, nempe pondus (w) personae et vis normalis (N) a solo in hominem exercita. Tres quantitates vectoriales sunt, quae sunt pondus (w), vis normalis (N) et acceleratio ascensoris; ubi pondus deorsum agit, vis normalis sursum agit, acceleratio ascensoris est deorsum. Quantitates vectoriales quae deorsum agunt signum plus habent, et quantitates vectoriales quae sursum agunt signum minus.

∑F = ma

w – N = (60)(3)

600 – N = 180

N = 600 – 180

N = 420 Newtoni

4. Res 40 kg in ascensore sursum acceleravit. Si solum ascensoris vim 520 N in rem exercet et acceleratio gravitatis 10 m/s² est ^. Quae est acceleratio ascensoris?

Notum:

Massa (m) = 40 kg

Vis normalis (N) = 520 N

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

pondus (w) = mg = (40)(10) = 400 N

Quaesitum: Acceleratio ascensoris

solution:

∑F = ma

400 – 520 = (40)(a)

-120 = (40)(a)

a = -120/40

a = -3 m/ ^s²

Acceleratio ascensoris est 3 m/s² ^. Signum minus indicat ascensorem sursum moveri.

5. Res 60 kg in ascensore deorsum accelerata est 3 m/s² ^. Quaenam est vis ab rebus in solum ascensoris exercetur?

Notum:

Massa (m) = 60 kg

Pondus (w) = mg = (60 kg)(10 m/ ^s² ) = 600 kg m/s² ⁼ 600 Newtoni

Acceleratio elevatoris (a) = 3 m/s² , ^deorsum

Quaesita: Vis ab obiecto in pavimento ascensoris exercita.

solution:

Ascensor deorsum acceleravit 3 m/s . Vis deorsum agens signum plus, vis autem sursum agit signum minus habet.

w – N = ma

N = w – ma

N = 600 – (60)(3)

N = 600 – 180

N = 420 Newtoni

Vis ab obiecto in pavimentum ascensoris exercita = 420 N.

6. Duo quadrati fune super trochleam currente connectuntur. Massam funi et trochleam, necnon quamlibet frictionem in trochlea, neglege. Massa quadrati A est 6 kg et massa quadrati B est 2 kg. Acceleratio gravitatis est 10 m/s² ^. Quaenam est vis tensionis?

Notum:

m _A = 6 kg, m _B = 2 kg, g = 10 m/s ²

w _A = m _A g = (6 kg)(10 m/s² ⁾ = 60 kg m/ ^s²

w _B = m _B g = (2 kg)(10 m/s² ⁾ = 20 kg m/ ^s²

Vis tensionis (T) quaesita ?

solution:

wA > wB _{ita ut} mA deorsum _, mB _sursum moveatur.

Lex secunda Newtoni:

Σ F = ma

wA _– wB = ( _{mA +} mB ₎ a

60 – 20 = (6 + 2) a

40 = (8) a

a = 40 / 8 = 5 m/ ^s²

Vis tensionis:

m _A deorsum movetur:

w _A – T _A = m _A a

60 – TA ₌ (6)(5)

LX – TA ₌ XXX

TA = 60 – ₃₀

T2 = ₃₀ Newtoni

m _B sursum movetur:

T _B – w _B = m _B a

TB _– 20 = (2)(5)

TB – 20 = ₁₀

TB = 10 + ₂₀

T1 = ₃₀ Newtoni

Vis tensionis (T) = 30 Newtoni.

7. Massa obiecti A = 5 kg, acceleratio gravitatis (g) = 10 ms⁻² ^. Obiectum A deorsum movetur 2.5 ms⁻² ^. Quae est massa obiecti B?

Notum:

Massa A (m² _A ) = 5 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Acceleratio obiecti A (a) = 2.5 m/ ^s²

Pondus A (w _A ) = (m _A )(g) = (5)(10) = 50 Newtoni

Quaesita: Massa obiecti B (m² _B )

solution:

Quadrum A deorsum movetur ita pondus rei A (w₂A ₎ maius est quam pondus rei B (w₂B ₎.

Legem secundam Newtoni applica:

Σ F = ma

wA _– wB = ( _{mA +} mB ₎ a

50 – (m₃B ₎ (10) = (5 + _m₃B ) (2.5)

50 – 10 m _B = 12.5 + 2.5 m _B

50 – 12.5 = 2.5 m _B + 10 m _B

37.5 = 12.5 m _B

m _B = 3 kg

8. Acceleratio gravitatis est 10 m/s² ^. Quae est vis tensionis?

Notum:

Massa obiecti 1 (m₁) = 2 kg

Massa obiecti 2 (m² ₎ = 3 kg

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Pondus² (w² ₎ = (m² ₎ (g) = (2 kg)(10 m/s² ⁾ = 20 kg m/ ^s²

Pondus² (w² ₎ = (m² ₎ (g) = (3 kg)(10 m/s² ⁾ = 30 kg m/ ^s²

Vis tensionis desiderata (T)

solution:

w² > w₁ _ita ut m² _{deorsum moveatur} et m₁ sursum _moveatur.

Lex secunda motus Newtoni:

Σ F = ma

w² – w₁ ₌ ( _m₁ + _{m₂ )} a

30 – 20 = (2 + 3) a

10 = (5) a

a = 10 / 5 = 2 m/ ^s².

Vis tensionis?

m² _deorsum movetur

w² – _T² = _m² a_​

30 – T² ₌ (3)(2)

30 – T² ₌ 6

T² = 30 – ₆

T2 = ₂₄ Newtoni

m ₁ sursum movetur

T₁ – _w₁ = _m₁ a_​

T1 _– 20 = (2)(2)

T1 – ₂₀ = 4

T1 = 20 + ₄

T1 = ₂₄ Newtoni

Vis tensionis (T) = 24 Newtoni.

1. Quaeritur: Cur prima lex motus Newtoni momentum virium externarum in mutando statu motus obiecti exaggerat? Responsum: Prima lex motus Newtoni, saepe lex inertiae appellata, affirmat rem quiescere vel in motu uniformi in linea recta manere nisi a vi externa agatur. Haec lex demonstrat vires externas, non autem qualitates internas ipsius rei, statum motus eius mutare posse.
2. Quaeritur: Quomodo lex secunda Newtoni vim, massam, et accelerationem inter se coniungit? Responsum: Lex secunda motus Newtoni dicit vim in rem agentem aequalem esse massae illius rei multiplicatae per accelerationem eius ($F=ma$). Hoc proportionalitatem directam inter vim et accelerationem et proportionalitatem inversam inter massam et accelerationem, data vi constanti, constituit.
3. Quaeritur: Cur Terram moveri non sentis, quamquam perpetuo in motu est? Responsum: Haec est illustratio primae legis Newtoni. Nos, una cum Terra et omnibus in ea, uniformiter simul movemur. Sine vi externa quae hunc statum motus mutet, nulla est sensatio accelerationis vel mutationis, ita ut quasi immobiles simus videatur.
4. Quaeritur: Quomodo lex tertia Newtoni actionem rochetae in spatio explicat? Responsum: Lex tertia Newtoni dicit cuique actioni parem et contrariam reactionem esse. Rocheta in spatio se propellens gases exhaustos retrorsum emittit. Actio est gas retrorsum movens, et reactio est rocheta progrediens.
5. Quaeritur: Cur in curru progredieris cum subito consistit? Responsum: Secundum legem primam Newtoni, corpus tuum statum motus sui (antrorsum) conservat cum currus sistit. Nisi vis (ut cingulum sedilis) in te agat, propter inertiam progredi perges.
6. Quaeritur: Si pluma et malleus in vacuum demittuntur, quid de motu eorum leges Newtoni praedicere possunt? Responsum: In vacuo, nulla est resistentia aeris. Secundum primam et secundam legem Newtoni, et penna et malleus eadem celeritate cadere et terram simul tangere debent, quia sola vis quae in eos agit est gravitas.
7. Quaeritur: Quomodo sacci aerii periculum laesionis in collisione autocinetica minuit? Responsum: Prima lex Newtoni indicat rem in motu in motu manere. In collisione, motus hominis anterior continuatur. Saccus aeris superficiem molliorem praebet quae tempus retardationis auget, ita vim ab homine expertam secundum [vel: ...minuens]. $F=ma$.
8. Quaeritur: Cur facilius est currum mercatorium vacuum quam onustum impellere? Responsum: Lex secunda Newtoni ($F=ma$) suggerit ut, pro eandem vim applicatam, rem minore massa (plaustrum vacuum) accelerationem maiorem habeat quam rem maiori massa (plaustrum onustum).
9. Quaeritur: Cur natatorem aquam retrorsum impellit ut progrediatur? Responsum: Haec est demonstratio legis tertiae Newtoni. Cum natat aquam retrorsum impellit (actio), est reactio aequalis et contraria quae natatorem propellit.
10. Quaeritur: Quomodo frictio ad legem primam Newtoni pertinet? Responsum: Frictio est vis externa quae in res agere potest ut eas retardet aut motum eorum sisteret. Sine frictione (aut quavis alia vi externa), res statum suum motus indefinite continuaret, ut lex prima Newtoni declaravit.