Dynamica particularum – problemata et solutiones

Dynamica particularum – problemata et solutiones

1. Res A cum massa 6 kg et res B cum massa 4 kg fune coniunctae et vi F = 60 N tractae, ut in figura infra demonstratur. Coefficiens frictionis cineticae inter pavimentum et ambas res est 0.5 (tan θ = ¾). Acceleratio gravitatis est 10 m/s² ^. Quae est magnitudo vis tensionis?

Notum:

Massa obiecti A (m²)_A) = 6 kg

Massa obiecti B (m² _B ) = 4 kg

Vis (F) = 60 Newtoni

Coefficiens frictionis cineticae inter rem et solum (μk ₎ = 0.5

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/s²

Tan θ = 3/4

Vis tensionis quaesita (T)

solution:

Pars horizontalis vis F:

Fx = F cos _θ

F _x = (60)(4/5) = (4)(12) = 48 N

Pars verticalis vis F:

F _y = F sin θ

F _y = (60)(3/5) = (3)(12) = 36 N

Vis normalis in objecto A:

N _A = w _A = m _A g = (6)(10) = 60 N

Vis normalis in objecto B:

NB + _Fy – _wB = ₀

NB + _Fy = _wB​

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 N

Vis frictionis cineticae inter rem A et solum:

f _KA = μ _k N _A = (0.5)(60) = 30 N

Vis frictionis cineticae inter rem B et solum:

f _kB = μ _k N _B = (0.5)(4) = 2 N

Accelerationem amborum obiectorum computa:

ΣF = ma

F _x - T + T - f _kB - f _kA = (m _A + m _B ) a

F _x - f _kB - f _kA = (m _A + m _B ) a

48 – 2 – 30 = (6 + 4) a

16 = 10 a

a = 16/10

a = 1.6 m/ ^s²

Vim tensionis computa:

Obiectum A:

ΣF = ma

T _A – f _kA = m _A a

TA _– 30 = (6)(1.6)

TA _– 30 = 9.6

TA = 9.6 + 30 = 39.6 _N

Obiectum B:

ΣF = ma

Fx – _fkB – _TB = _mBa​​

48 – 2 – TB ₌ (4)(1.6)

46 – TB ₌ 6.4

46 – 6.4 = _TB

T _B = 39.6 N

2. Si coefficiens frictionis cineticae inter ambos saxa et solum est 0.2, quae est acceleratio amborum obiectorum? (cos 37 ^° = 0,8, sin 37 ^° = 0,6)

Notum:

Massa obiecti A (m²)_A) = 4 kg

Massa obiecti B (m² _B ) = 2 kg

Vis (F) = 30 Newtoni

Coefficiens frictionis cineticae inter rem et solum (μk ₎ = 0.2

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/s²

cos 37 ^° = 0.8

sin 37 ^° = 0.6

Quaesitum: Acceleratio amborum obiectorum

solution:

Pars horizontalis vis F:

Fx = F cos _θ

F _x = (30)(0.8) = 24 N

Pars verticalis vis F:

F _y = F sin θ

Fy ₌ (30)(0.6) = 18 N

Vis normalis in obiectum A:

N _A = w _A = m _A g = (4)(10) = 40 N

Vis normalis in objecto B:

NB + _Fy – _wB = ₀

NB + _Fy = _wB​

N _B = w _B – F _y = m _B g – F _y = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 N

Vis frictionis cineticae inter rem A et solum:

f _KA = μ _k N _A = (0.2)(40) = 8 N

Vis frictionis cineticae inter rem B et solum:

f _kB = μ _k N _B = (0.2)(2) = 0.4 N

Acceleratio amborum obiectorum:

ΣF = ma

F _x - f _kB - f _kA = (m _A + m _B ) a

24 – 0.4 – 8 = (4 + 2) a

15.6 = 6 a

a = 15.6 / 6

a = 2.6 m/ ^s²

3. Duo obiecta fune super trochleam coniuncta, ut in figura infra demonstratur. Massa obiecti A = m² _A , massa f = obiecti B = m² _B , et acceleratio quadrati B est a. Acceleratio gravitatis est g. Quaenam est vis tensionis in quadrato B?

solution:

Superficies horizontalis levis est, ita nulla frictio est. Sola vis quae systema accelerat est pondus quadri B.

Acceleratio systematis:

Vis tensionis (T):

Substitue mA _in aequatione 1 cum mA _in aequatione 2.

1. Quid interest inter staticam et dynamicam in contextu particularum?
   • Responsum: Statica studium virium in particulis in aequilibrio tractat, ubi omnes vires libratae sunt et nulla acceleratio est. Dynamica autem vires et motum resultantem particularum investigat cum vires inaequales sunt, accelerationem causantes.
2. Quomodo lex secunda Newtoni ad motum particulae applicatur?
   • Responsum: Lex Secunda Newtoni dicit vim in particulam agentem aequalem esse massae particulae multiplicatae per accelerationem eius: $F=ma$Haec lex describit quomodo vis motum particulae afficiat, pro massa eius et acceleratione a vi producta.
3. Quod est principium conservationis momenti linearis, et quomodo ad particulas applicatur?
   • Responsum: Principium conservationis momenti linearis affirmat momentum lineare totale systematis clausi particularum constans manere, si nullae vires externae in systema agunt. Hoc significat momentum totale ante et post interactionem inter particulas intra systema idem fore.
4. Quomodo notio operis in particula facti ad vim applicatam et dislocationem particulae refertur?
   • Responsum: Opus in particula factum est productum vis particulae applicatae, dislocationis particulae, et cosini anguli inter vectores vis et dislocationis: $W=Fd\sin \theta$.
5. Quid interest inter energiam cineticam et energiam potentialem in contextu particulae?
   • Responsum: Energia cinetica est energia particulae propter motum suum et datur per 1/2. ​mv², ubi $m$ est massa et $v$ est velocitas. Energia potentialis est energia in particula condita propter positionem eius in campo virium (velut campis gravitatis vel electricis). Expressio specifica energiae potentialis a vi agente in particulam pendet.
6. Quomodo impulsus in particula ad mutationem momenti eius refertur?
   • Responsum: Impulsus in particulam est productum vis particulae applicatae et durationis temporis per quam vis applicatur. Aequalis est mutationi momenti particulae: $I=F\Delta t=\Delta p$.
7. Quid significatur per "particulam liberam," et quomodo se gerit?
   • Responsum: Particula libera est ea quae nullis viribus subiecta est. Secundum Legem Primam Newtoni, particula libera vel quiescet si initio quiescit, vel velocitate constanti movebitur si initio in motu est.
8. Quale munus agit frictio in dynamica particularum?
   • Responsum: Frictio est vis quae motui relativo inter superficies in contactu obstat. In contextu dynamicae particularum, frictio motum particulae vel tardare vel sistere potest, pro directione et magnitudine vis frictionis.
9. Quomodo trajectoria particulae a vi centrali afficitur?
   • Responsum: Vis centralis est ea quae agit secundum lineam quae particulam cum puncto fixo, quod centrum appellatur, coniungit. Tales vires communes sunt in interactionibus gravitatis et electricis et efficiunt ut particula moveatur in via quae momentum angulare specificum circa centrum servat, saepe orbitas ellipticas vel circulares efficientes.
10. Quaenam est relatio inter vim externam nettam agentem in systema particularum et rationem mutationis momenti linearis totius systematis?

• Responsum: Secundum Legem Secundam Newtoni ad systema particularum applicatam, vis externa netta in systema agens aequalis est rationi mutationis momenti linearis totalis systematis: Fcit​=dP/dt​, ubi $\mathbf{P}$ est momentum lineare totale.