Бир маалыматтардын дисперсиясы жана стандарттык четтөөсү
Статистика – маалыматтарды чогултууну, талдоону, чечмелөөнү, көрсөтүүнү жана уюштурууну изилдеген илим. Статистиканын маанилүү аспектилеринин бири – бул маалыматтардын өзгөрмөлүүлүгүн кантип өлчөөрүбүз жана түшүнөөрүбүз. Өзгөрмөлүүлүктүн эки маанилүү көрсөткүчү – дисперсия жана стандарттык четтөө. Бул макалада дисперсия жана стандарттык четтөө терең талкууланат, бир гана маалыматтар топтомуна көңүл бурулат, аныктамаларды, формулаларды, эсептөө кадамдарын түшүндүрөт жана түшүнүктөрдү тактоо үчүн практикалык мисалдарды келтирет.
Дисперсия жана стандарттык четтөөнүн аныктамасы
Vary
Дисперсия – бул маалыматтардын орточо мааниден канчалык алыс жайылгандыгынын өлчөмү. Ал маалыматтар топтомундагы ар түрдүүлүктүн же вариациянын жалпы көрүнүшүн берет. Математикалык жактан алганда, дисперсия – бул ар бир маалымат элементинин анын орточо мааниден четтөөлөрүнүн квадраттарынын орточо мааниси.
Стандарттык четтөө
Стандарттык четтөө, ошондой эле стандарттык четтөө деп да аталат, дисперсиянын квадраттык тамыры болуп саналат. Ал маалыматтардын баштапкы маалыматтар менен бирдей бирдиктерде бөлүштүрүлүшү жөнүндө маалымат берет, бул аны реалдуу жашоо контекстинде чечмелөөнү жеңилдетет.
Формулалар жана эсептөөлөр
Vary
n өлчөмүндөгү бирдиктүү маалымат топтомунун дисперсиясын (σ^2) эсептөө үчүн төмөнкү формуланы колдонсок болот:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]
Димана:
– \( x_i \) ith маалымат мааниси.
– \( \bar{x} \) – бул маалыматтардын орточо мааниси.
– n – топтомдогу маалыматтардын саны.
– (x_i – \bar{x})^2 – бул ар бир маалымат менен анын орточо маанисинин айырмасынын квадраты.
Стандарттык четтөө
Стандарттык четтөө (σ) дисперсиянын квадрат тамыры болуп саналат, ошондуктан формула төмөнкүдөй:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Эсептөө кадамдары
1-кадам: Маалыматтардын орточо маанисин (орточо) эсептеңиз
Биринчи кадам - маалыматтар топтомунун орточо маанисин (орточо маанисин) эсептөө. Орточо маани бардык маалымат маанилерин кошуу жана маалымат маанилеринин санына бөлүү жолу менен эсептелет.
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
2-кадам: Ар бир маалымат топтомунун орточо мааниге карата айырмасын эсептеңиз
Орточо маанини алгандан кийин, кийинки кадам ар бир маалымат мааниси менен орточо маанинин (четтөө) ортосундагы айырманы эсептөө болуп саналат.
\[ d_i = x_i – \bar{x} \]
3-кадам: Ар бир четтөөнү квадраттаңыз
Андан кийин, ар бир четтөөнү квадраттаңыз.
\[ d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]
4-кадам: Бардык квадраттык четтөөлөрдү кошуңуз
Мурунку кадамдан алынган бардык квадраттык жыйынтыктарды кошуңуз.
\[ \sum d_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
5-кадам: Дисперсияны эсептөө
Дисперсияны алуу үчүн четтөөлөрдүн квадраттарынын суммасын маалыматтардын санына (n) бөлүңүз.
\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]
6-кадам: Стандарттык четтөөнү эсептөө
Акырында, дисперсиянын квадрат тамырын алуу менен стандарттык четтөөнү эсептегиле.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Эсептөө мисалы
Дисперсияны жана стандарттык четтөөнү эсептөө түшүнүгүн тактоо үчүн, төмөнкү мисалды карап көрөлү. Мисалы, бизде төмөнкүдөй бирдиктүү маалыматтар топтому бар дейли: 4, 8, 6, 5, 3.
1-кадам: Маалыматтардын орточо маанисин эсептеңиз
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
2-кадам: Ар бир маалымат топтомунун орточо мааниге карата айырмасын эсептеңиз
Ар бир маалымат мааниси менен орточо маанинин айырмасы:
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2
3-кадам: Ар бир четтөөнү квадраттаңыз
Ар бир четтөөнүн квадраты:
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84
4-кадам: Бардык квадраттык четтөөлөрдү кошуңуз
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
5-кадам: Дисперсияны эсептөө
\[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]
6-кадам: Стандарттык четтөөнү эсептөө
\[ \sigma = \sqrt{2.96} \болжол менен 1.72 \]
Ошентип, бул мисалда маалыматтардын дисперсиясы 2.96га, ал эми стандарттык четтөө болжол менен 1.72ге барабар.
интерпретация
Дисперсия жана стандарттык четтөө маалыматтардын жайылышы жөнүндө маанилүү маалымат берет. Жогорудагы мисалда, 2.96 дисперсиясы маалымат маанилеринин орточо мааниден орточо квадраттык четтөөсү 2.96 экенин көрсөтөт. 1.72 стандарттык четтөөсү орточо эсеп менен маалымат маанилеринин орточо мааниден 1.72 бирдикке четтегенин көрсөтөт.
Стандарттык четтөөнү чечмелөө оңой, анткени анын бирдиктери баштапкы маалыматтар менен бирдей. Мисалы, киреше статистикасынын контекстинде, эгерде маалыматтардын стандарттык четтөөсү 500 доллар болсо, бул орточо киреше орточо кирешеден 500 долларга четтеп кетет дегенди билдирет.
Күнүмдүк жашоодо колдонуу
Дисперсияны жана стандарттык четтөөнү түшүнүү ар кандай тармактарда колдонулушу мүмкүн. Финансыда стандарттык четтөө инвестициялык тобокелдикти өлчөө үчүн колдонулушу мүмкүн. Билим берүүдө аны студенттердин ортосундагы тест упайларынын айырмасын баалоо үчүн колдонсо болот. Өндүрүштө ал өндүрүштүн айырмасын өлчөө менен сапатты көзөмөлдөөгө жардам берет.
Корутунду
Дисперсия жана стандарттык четтөө маалыматтар топтомундагы өзгөрмөлүүлүктү түшүнүү үчүн эки маанилүү статистикалык курал болуп саналат. Дисперсияны эсептөө менен, биз маалыматтардын канчалык тараганын аныктай алабыз. Дисперсиянын квадрат тамыры болгон стандарттык четтөө интуитивдик чечмелөөнү сунуштайт жана баштапкы маалыматтар менен бирдей бирдиктерде өлчөнөт. Бул эки көрсөткүчтү түшүнүү жана эсептей билүү менен, биз маалыматтарды жакшыраак талдап, маалыматтуу чечимдерди кабыл ала алабыз.
