Бернуллинин формуласы: принциптери жана колдонулушу
Бернуллинин принциби - суюктук механикасындагы фундаменталдык түшүнүк, аны 18-кылымда швейцариялык окумуштуу Даниел Бернулли ачкан. Бул принцип суюктуктун агымынын ылдамдыгы менен ал агымдын ичиндеги басымдын ортосундагы байланышты түшүндүрөт. Бул макалада Бернуллинин формуласы, анын негизги түшүнүктөрү, математикалык туундулары, эсептөө мисалдары жана күнүмдүк жашоодо колдонулушу терең талкууланат.
Бернуллинин формуласын түшүнүү
Бернуллинин формуласы идеалдуу суюктук агымында (сүрүлүү күчү жок) көлөмдүн бирдигине туура келген механикалык энергиянын (потенциалдык энергия, кинетикалык энергия жана басым) көлөмү агым боюнча туруктуу экенин айтат. Бул формула төмөнкүдөй айтылат:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant} \]
ди мана:
– \( P \) суюктуктун басымы (паскалдарда, Па),
– \( \rho \) – суюктуктун тыгыздыгы (куб метрине килограмм менен, кг/м³),
– \( v \) – суюктуктун агымынын ылдамдыгы (секундасына метр менен, м/с),
– \( g \) – тартылуу күчүнөн улам пайда болгон ылдамдануу (секундасына метр менен квадрат, м/с²),
– \( h \) – суюктуктун эталондук чекиттен жогору бийиктиги (метр менен, м).
Бернуллинин принциби
Бернуллинин принциби энергиянын сакталуу мыйзамына негизделген. Суюктук агымында, эгерде системага эч кандай энергия кошулбаса же андан алынбаса, системадагы жалпы энергия туруктуу бойдон калышы керек. Көлөмдүн бирдигине туура келген жалпы энергия төмөнкүлөрдөн турат:
1. Басым энергиясы (\( P \)): суюктуктун басымынан келип чыккан энергия.
2. Кинетикалык энергия (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): суюктуктун кыймылынан келип чыккан энергия.
3. Гравитациялык потенциалдык энергия (\( \rho gh \)): суюктуктун гравитациялык талаадагы абалынан келип чыккан энергия.
Бернулли формуласынын математикалык чыгарылышы
Бернуллинин формуласынын чыгышын түшүнүү үчүн, биз 1-чекиттен 2-чекитке карай агымда \(v\) ылдамдыкта кыймылдаган суюктуктун кичинекей элементин карап көрөлү. Эгерде биз сүрүлүүдөн же жылуулуктан улам энергиянын жоголушу жок деп эсептесек, анда 1 жана 2-чекиттердеги жалпы энергия бирдей болушу керек.
1-чекиттеги (\( E_1 \)) жалпы энергия:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
2-чекиттеги (\( E_2 \)) жалпы энергия:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Жалпы энергия туруктуу болушу керек болгондуктан:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Бул Бернуллинин формуласы деп аталат.
Бернуллинин формуласын колдонуу менен эсептөөнүн мисалы
Мисалы, А чекитинен В чекитине суу агып жаткан горизонталдуу түтүк бар дейли. А чекитинде суунун ылдамдыгы 2 м/с, ал эми басымы 150 000 Па. В чекитинде суунун ылдамдыгы 4 м/с. Суунун тыгыздыгы 1000 кг/м³. В чекитиндеги басымды эсептегиле.
Бернулли формуласын колдонуңуз:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Түтүк горизонталдуу жайгашкандыктан, \( h_A = h_B \), ошондуктан эки чекиттеги \( \rho gh \) эске алынбайт:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Белгилүү маанилерди алмаштырыңыз:
\[ 150 000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Эки чекиттин кинетикалык энергиясын эсептегиле:
\[ 150 000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152 000 – 8000 \]
\[ P_B = 144 000 \, \text{Pa} \]
Демек, В чекитиндеги басым 144 000 Па түзөт.
Бернулли принцибинин колдонулушу
1. Учактар: Бернуллинин принциби учактын канаттарын долбоорлоодо колдонулат. Учактын канатынын формасы канаттын үстүндөгү аба ылдамдыгы канаттын астындагыга караганда чоңураак болуп иштелип чыккан. Натыйжада канаттын үстүндөгү басым төмөн, ал эми канаттын астындагы басым жогорулап, учактын учушуна мүмкүндүк берген көтөрүү күчү пайда болот.
2. Жарыш унаалары: Жарыш унааларынын аэродинамикалык дизайны ылдамдыкты жана туруктуулукту жогорулатуу үчүн Бернулли принцибин колдонот. Спойлерлер жана диффузорлор аба агымын жөнгө салуу, ылдый карай тартылуучу күчтү көбөйтүү үчүн колдонулат, бул унаанын жолдо тартылуу күчүн жакшыртат.
3. Денедеги кан агымы: Бернулли принциби кан тамырлар аркылуу кан агымына да тиешелүү. Дененин ар кайсы бөлүктөрүндөгү кан агымынын ылдамдыгынын жана басымынын айырмачылыктарын медициналык ооруларды аныктоо үчүн изилдөөгө болот.
4. Вентури өлчөгүчү: Түтүктөгү суюктуктун агым ылдамдыгын өлчөө үчүн колдонулган түзүлүш. Вентури өлчөгүчүнүн таруучу бөлүгү бар, ал Бернулли принцибине ылайык суюктуктун агым ылдамдыгынын жогорулашына жана басымдын төмөндөшүнө алып келет. Агым ылдамдыгын эсептөө үчүн кең жана кууш бөлүктөрдөгү басым айырмасы колдонулат.
5. Атыр чачыраткычтар: Атыр чачыраткычтар же суюк чачыраткычтар Бернулли принцибин колдонушат. Аба кууш түтүк аркылуу үйлөнгөндө, түтүктүн учундагы аба басымы төмөндөйт, атыр суюктугун түтүк аркылуу өйдө тартып, аны майда туман катары чачат.
Бернулли принцибинин колдонулушуна таасир этүүчү факторлор
1. Сүрүлүү: Чындыгында, суюктуктар идеалдуу эмес жана ар дайым энергиянын жоголушуна алып келүүчү ички сүрүлүү (илгичтик) болот. Бул Бернулли принцибин колдонууну татаалдаштырат.
2. Суюктуктун кысылуучулугу: Бернуллинин принцибин кысылбаган суюктуктарга (мисалы, сууга) колдонуу оңой. Газдар же кысылуучу суюктуктар үчүн теңдемени тууралоо керек.
3. Турбуленттүүлүк: Бернуллинин принциби ламинардык (туруктуу) агымга тиешелүү. Турбуленттүү (туруктуу эмес) агымда анализ татаалдашат.
Оор окуяны изилдөө: Бернулли принцибин учактын канатын долбоорлоодо колдонуу
Учактын канатынын дизайны Бернулли принцибинин иш жүзүндөгү классикалык үлгүсү болуп саналат. Канаттын ийри үстүнкү жана жалпак астыңкы формасы абанын канаттын үстүнөн астына караганда тезирээк агышына мүмкүндүк берет. Бернулли принцибине ылайык, канаттын үстүндөгү аба агымынын жогорку ылдамдыгы канаттын астына караганда төмөн басымды пайда кылат. Бул басым айырмасы учактын учушуна мүмкүндүк берген көтөрүү күчүн түзөт.
Мисалы, учактын канатынын аянты 25 м² дейли. Канатынын үстүндөгү абанын ылдамдыгы 70 м/с, ал эми канаттын астында 50 м/с. Абанын тыгыздыгы 1.225 кг/м³. Натыйжада көтөрүлүү күчүн эсептегиле.
1. Бернуллинин формуласын колдонуп, басым айырмасын (\( \Delta P \)) эсептегиле:
\[ P_{bottom} – P_{bottom} = \frac{1}{2} \rho (v_{bottom}^2 – v_{bottom}^2) \]
Белгилүү маанилерди алмаштырыңыз:
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \убакыт 1.225 \убакыт (4900 – 2500) \]
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \убакыт 1.225 \убакыт 2400 \]
\[ \Дельта P = 1.225 \1200гө көбөйтүлгөн \]
\[ \Дельта P = 1470 \, \текст{Па} \]
2. Көтөрүү күчүн эсептегиле (\( F_{lift} \)):
\[ F_{лифт} = \Дельта P \убакыт A \]
\[ F_{lift} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{көтөрүү} = 36,750 \, \text{
N} \]
Ошентип, пайда болгон көтөрүү күчү 36 750 Ньютонду түзөт.
Корутунду
Бернуллинин принциби суюктук механикасынын негиздеринин бири болуп саналат, ал суюктуктун агымынын ылдамдыгы менен басымдын ортосундагы байланышты түшүндүрөт. Бернуллинин формуласын түшүнүү жана колдонуу менен биз учактардан баштап агым өлчөгүчтөргө чейин суюктуктун агымын камтыган ар кандай системаларды талдап жана долбоорлой алабыз. Иш жүзүндө биз көп учурда сүрүлүү жана турбуленттүүлүк сыяктуу факторлорду эске алышыбыз керек болсо да, Бернуллинин принциби суюктук динамикасын түшүнүүдө жана натыйжалуу инженердик чечимдерди иштеп чыгууда маанилүү курал бойдон калууда.
