Үзгүлтүксүздүк теңдемесинин материалы
Крандан чыгып жаткан суунун агымын байкап жатып, суу кранын жай ачып көрүңүз. Кран айланбай калгандан кийин, кранды колуңуз менен жарым-жартылай жаап коюңуз. Эми кайсы суунун агымы көбүрөөк экенин салыштырыңыз. Жарым-жартылай тыгылып калгандабы же тыгылып калгандабы? Эгерде сизде гүлдөрдү сугаруу үчүн колдонулган шланг болсо, анда ал аркылуу сууну агызыңыз. Шлангды колуңуз же манжаңыз менен жарым-жартылай жаап коюңуз. Шлангдын канчалык көп бөлүгү тыгылып калса, суу ошончолук тез агып чыгат. Тескерисинче, эгер шланг тыгылып калбаса, суу анча тез агып кетпейт. Эмне үчүн мындай? Муну түшүнүү үчүн, үзгүлтүксүздүк теңдемесин изилдеп көрүңүз.
Агым сызыктары жана агым түтүктөрү
Алгач, агым сызыктары жана агым түтүктөрү түшүнүктөрүн түшүнүп алалы. Бул түшүнүк маанилүү, анткени ал сизге үзгүлтүксүздүк теңдемесин түшүнүүгө жардам берет.
Агым линиясы
Төмөндөгү сүрөттү караңыз, көк сызык - бул Streamline.
Туруктуу агымда ар бир суюктук бөлүкчөсүнүн ылдамдыгы, мисалы, А чекитинде, туруктуу бойдон калат. Ал В чекитинен өткөндө, суюктук бөлүкчөлөрүнүн ылдамдыгы өзгөрүшү мүмкүн. Бирок, В чекитине келгенде, анын артынан келген суюктук бөлүкчөлөрү алардан мурунку суюктук бөлүкчөлөрү менен бирдей ылдамдыкта агып жүрө берет. Ошол эле нерсе С чекитине келгенде да колдонулат. Агым сызыгы - бул А, В жана С чекиттерин туташтырган ийри сызык.
Агым түтүгү
Негизинен, биз ар бир агым агымын суюктук агымынын ар бир чекити аркылуу өткөрө алабыз. Эгерде биз туруктуу суюктук агымын карасак, элестүү беттик аянтта (элестүү беттик аянт) белгилүү бир бурч аркылуу өткөн бир катар агым агым түтүгүн түзөт. Суюктук бөлүкчөлөрү бири-бири менен кесилишпейт, бирок ар дайым параллель болушат жана агым түтүгү ар дайым бирдей формадагы түтүккө окшош болот. Түтүктүн бир учунан кирген суюктук түтүктөн экинчи учунан чыгат.
Дебет
Разряд белгилүү бир убакыт аралыгында белгилүү бир кесилиш аркылуу агып өткөн суюктуктун көлөмүн көрсөтөт. Математикалык жактан аны төмөнкүдөй туюнтса болот:
Түшүнүгүңүздү тереңдетүү үчүн, мисал келтирели. Мисалы, түтүк аркылуу суюктук агып өтөт дейли. Түтүктөр, адатта, цилиндр формасында болот жана белгилүү бир кесилиш аянтка ээ. Түтүктүн да узундугу бар.
Эгерде суюктук түтүк аркылуу L чейин агып өтсө, анда түтүктөгү суюктуктун көлөмү V = AL болот (V = суюктуктун көлөмү, A = кесилиш аянты жана L = түтүктүн узундугу). Анткени түтүктөгү агып өтүү учурунда суюктук L боюнча белгилүү бир убакыт аралыгында жылат, анда суюктуктун чыгымынын чоңдугу төмөнкүдөй деп айтсак болот:
Анткени v = s/t = L/t —> L = vt, жогорудагы теңдеме төмөнкүдөй өзгөрөт:
Ошентип, суюктук белгилүү бир убакыт аралыгында белгилүү бир кесилиш аянты жана узундугу бар түтүк аркылуу агып өткөндө, суюктуктун чыгымынын чоңдугу (Q) кесилиш бетинин аянтын (A) суюктуктун агым ылдамдыгына (v) көбөйтүлгөнүнө барабар.
Үзгүлтүксүздүк теңдемеси
Төмөндөгү сүрөттө көрсөтүлгөндөй, ар кандай диаметрдеги түтүктөгү суюктуктун агымын карап көрөлү.
Бул сүрөттө солдон оңго суюктуктун агымы көрсөтүлгөн (суюктук чоң диаметрдеги түтүктөн кичине диаметрдеги түтүккө агат). Чекиттүү сызыктар агым сызыктары.
Сүрөттүн аталышы: A 1 = чоң диаметрдеги түтүк бөлүгүнүн кесилиш аянты, A 2 = кичине диаметрдеги түтүк бөлүгүнүн кесилиш аянты, v 1 = чоң диаметрдеги түтүк бөлүгүндөгү суюктуктун агымынын ылдамдыгы, v 2 = кичине диаметрдеги түтүк бөлүгүндөгү суюктуктун агымынын ылдамдыгы, L = суюктук басып өткөн аралык.
Суюктук динамикасын үйрөнүүдө суюктук динамикасында биз кысылбаган, көрүнбөгөн, турбуленттүү эмес жана туруктуу суюктуктардын агымын талкуулай турганыбыз түшүндүрүлдү. Туруктуу агымда суюктук бөлүкчөлөрүнүн бир чекиттеги ылдамдыгы ошол чекиттен өткөн башка суюктук бөлүкчөлөрүнүн ылдамдыгына барабар. Суюктук агымдары да бири-бири менен кесилишпейт (агым сызыктары параллель). Ошондуктан, түтүктүн бир учуна кирген суюктуктун массасы экинчи учунан чыккан суюктуктун массасына барабар болушу керек. Эгерде белгилүү бир массадагы суюктук чоң диаметрдеги түтүккө кирсе, анда суюктук түтүктөн кичинекей диаметрдеги жана туруктуу массадагы суюктук менен чыгат.
Эми жогорудагы түтүктүн сүрөтүн караңыз. Түтүктүн чоң диаметрдеги бөлүгүн жана кичине диаметрдеги бөлүгүн караңыз.
Белгилүү бир убакыт аралыгында чоң диаметрдеги (А) түтүктүн кесиндиси аркылуу белгилүү бир өлчөмдөгү суюктук агат.1) L чейин1 (L1 = V1 т). Агып жаткан суюктуктун көлөмү V1 = А.1 L1 = А.1 v1 т. Ошол эле убакыт аралыгында диаметри кичирээк (А) болгон түтүктүн кесиндиси аркылуу дагы бир өлчөмдөгү суюктук агат.2) L чейин2 (L2 = V2 т). Агып жаткан суюктуктун көлөмү V2 = А.2 L2 = А.2 v2 t.
Сыгылбаган суюктуктар үчүн үзгүлтүксүздүк теңдемеси (кысылгыс)
Алгач, кысылбаган суюктуктун мисалына токтололу. Сыгылбаган суюктукта суюктуктун тыгыздыгы же массасы ал өткөн ар бир чекитте дайыма бирдей болот. Белгилүү бир убакыт аралыгында кесилиш аянты А1 болгон ( түтүктүн чоң диаметри) түтүктө агып жаткан суюктуктун массасы төмөнкүдөй:
Ошо сыяктуу эле, кесилиш аянты А2 (кичинекей түтүк диаметри) болгон түтүктө белгилүү бир убакыт аралыгында агып жаткан суюктуктун массасы :
Туруктуу агымда кирген суюктуктун массасы чыгып жаткан суюктуктун массасына барабар экенин эске алсак, анда:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (суюктуктун тыгыздыгы жана убакыт аралыгы бирдей, ошондуктан алар жокко чыгарылат)
A 1 v 1 = A 2 v 2
Ошентип, кысылбаган суюктуктарда үзгүлтүксүздүк теңдемеси колдонулат:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — 1-теңдеме
Маалымат:
A 1 = кесилиш аянты 1, A 2 = кесилиш аянты 2, v 1 = кесилиш 1деги суюктуктун агымынын ылдамдыгы, v 2 = кесилиш 2деги суюктуктун агымынын ылдамдыгы, A v = көлөмдүк агым ылдамдыгы V/t, башкача айтканда, разряд
1-теңдемеде көлөмдүк агым ылдамдыгы, башкача айтканда, разряддоо түтүгүнүн ар бир чекитинде дайыма бирдей экени көрсөтүлгөн. Түтүктүн кесилиши азайган сайын, суюктуктун агым ылдамдыгы жогорулайт; тескерисинче, түтүктүн кесилиши чоңойгон сайын, суюктуктун агым ылдамдыгы төмөндөйт.
Кранды жарым-жартылай жапканда, суунун агымы кран жарым-жартылай жабылганга караганда тезирээк болот. Себеби, кран жарым-жартылай жабылганда крандын кесилиш аянты азайып, суунун агым ылдамдыгы жогорулайт (суюктук тезирээк агат). Шлангдар үчүн да ушундай. Бирок, кран жарым-жартылай жабылганына же жабылбаганына карабастан, суу агымынын бардык чекиттеринде агызуу же көлөмдүк агым ылдамдыгы бирдей бойдон калаарын белгилей кетүү маанилүү. Ошентип, өзгөрө турган нерсе - суюктуктун агым ылдамдыгы.
Ошентип, дарыядагы суунун агымы жөнүндө эмне айтууга болот? Дарыянын терең жерлеринин кесилиши тайыз жерлерине караганда чоңураак, ошондуктан терең жерлердеги суунун агымынын ылдамдыгы тайыз жерлерге караганда төмөн. Эгер сиз дарыянын агымынын абдан тынч экенин көрсөңүз, бул дарыянын терең экенин билдирет. Бирок, эгерде дарыя күтүүсүздөн тез агып кетсе, ал жер сөзсүз тайыз болот. Бирок, суунун көлөмүнүн агымынын ылдамдыгы дарыянын терең же тынч жерлеринде болсун, ар дайым бирдей болот.
Кысылган суюктуктар үчүн үзгүлтүксүздүк теңдемеси (кысылышы мүмкүн)
Кысылуучу суюктуктарда суюктуктун тыгыздыгы дайыма эле бирдей боло бербейт. Башкача айтканда, кысылганда суюктуктун тыгыздыгы өзгөрөт. Кысылбаган суюктуктарда суюктуктун тыгыздыгы теңдемеден алынып салынса, бул учурда суюктуктун тыгыздыгы дагы эле кошулат. Мурда алынган теңдеме боюнча, кысылуучу суюктуктар үчүн теңдемени чыгаралы.
Туруктуу агымда кирген суюктуктун массасы чыгып жаткан суюктуктун массасына барабар экенин эске алсак, анда:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Суюктук агымынын убакыт аралыгы бирдей, ошондуктан аны жок кылууга болот. Теңдеме төмөнкүдөй өзгөрөт:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 2-теңдеме
Бул кысылуучу суюктуктун теңдемеси. Айырмасы бир гана суюктуктун тыгыздыгында. Суюктук кысылганда, анын тыгыздыгы өзгөрөт. Тескерисинче, суюктук кысылбаганда, анын тыгыздыгы туруктуу бойдон калат жана жокко чыгарылышы мүмкүн.
1-мисал суроо:
Суу диаметри 10 см болгон түтүк аркылуу 2 м/с ылдамдыкта агып өтөт. Суунун чыгымы канча?
Талкуу
Белгилүү болгондой:
Түтүктүн диаметри = 10 см (бул түтүктүн ички диаметри)
Түтүктүн радиусу (r) = 5 см = 0,05 м
v суу = 2 м/с
Суроо: Дебет
Жооп:
Q = A v
Q = (π r 2 ) (2 м/с)
Q = (3,14)(0,05 м) 2 (2 м/с)
Q = (3,14)(0,0025 м2 ) (2 м/с)
Q = 0,0157 м3 / с
2-мисал суроо:
Диаметри 20 см болгон суу түтүгү диаметри 10 см болгон башка түтүккө туташтырылган. Эгерде диаметри 20 см болгон түтүктөгү суунун агым ылдамдыгы 4 м/с болсо, анда диаметри 10 см болгон түтүктөгү суунун агым ылдамдыгы канча?
Талкуу
Белгилүү болгондой:
Диаметри 1 = 20 см (r 1 = 10 см = 0,1 м)
v 1 = 4 м/с
Диаметри 2 = 10 см (r2 = 5 см = 0,05 м)
Суроо берилген: 1- аят
Жооп:
С 1 = С 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 м/с) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 м) 2 (4 м/с) = (0,05 м) 2 (v 2 )
(0,01 м2 ) (4 м/с) = (0,0025 м2 ) ( v2 )
(0,04 м3 / с) = (0,0025 м2 ) ( v2 )
v 2 = 16 м/с
