Биномдук бөлүштүрүүнүн күтүлгөн мааниси
Биномдук бөлүштүрүү статистикада жана ыктымалдуулукта эң көп кездешкен дискреттик ыктымалдуулук бөлүштүрүүлөрүнүн бири болуп саналат. Бул бөлүштүрүү бир катар көз карандысыз экилик сыноолордогу (эки гана натыйжасы бар сыноолор: ийгилик же ийгиликсиздик) ийгиликтердин санын сүрөттөйт. Биномдук бөлүштүрүүнү жакшыраак түшүнүү үчүн, узак мөөнөттүү кайталанган сыноонун орточо маанисин сүрөттөгөн күтүлгөн маани түшүнүгүн түшүнүү маанилүү. Бул макалада биномдук бөлүштүрүүнүн контекстинде күтүлгөн маани түшүнүгү каралат.
Биномдук бөлүштүрүүнүн аныктамасы
Биномдук бөлүштүрүү биз бир катар окшош жана көз карандысыз сыноолор жүргүзгөн контексттерде пайда болот жана ар бир сыноонун өз ара карама-каршы келген эки натыйжасы бар, алар көбүнчө "ийгилик" жана "ийгиликсиздик" деп аталат. Мисалы, тыйынды ыргытуу (баштары же аягы), экзамен суроосуна жооп берүү (чын же жалган) же медициналык сыноо (айыктырган же айыкпаган).
Биномдук бөлүштүрүү эки параметр менен аныкталат:
– n, сыноолор саны.
– p, ар бир сыноодо ийгиликке жетүү ыктымалдуулугу.
Болжол менен айтканда, эгер X n сыноодогу ийгиликтердин санын көрсөткөн кокустук өзгөрмө болсо, анда X n жана p параметрлери менен X ~ Binomial(n, p) деп белгиленген биномдук бөлүштүрүүнү ээрчийт.
Ыктымалдуулук функциясы
Биномдук бөлүштүрүүнүн ыктымалдуулук функциясы төмөнкүдөй:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ди мана:
– \( \binom{n}{k} \) – бул биномдук коэффициент, ал \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) катары эсептелет.
– \( k \) – бул ийгиликтердин каалаган саны.
– \(n \) – сыноолордун саны.
– \( p \) – ар бир сыноодо ийгиликке жетүү ыктымалдыгы.
– \( (1-p) \) ар бир сыноодо ийгиликсиздиктин ыктымалдуулугу.
Күтүлгөн баалуулук
Ыктымалдуулук бөлүштүрүлүшүнүн күтүлгөн мааниси же орточо мааниси борбордук жайгашуунун эң маанилүү көрсөткүчтөрүнүн бири болуп саналат. Биномдук бөлүштүрүү үчүн, Биномдук(n, p) дан кийинки X кокустук өзгөрмөсүнүн күтүлгөн мааниси:
\[ E(X) = np \]
Күтүлгөн нарктын далили
Биномдук бөлүштүрүүнүн күтүлгөн мааниси эмне үчүн np экенин түшүнүү үчүн, биз күтүлгөн маанинин сызыктуулук касиетин колдонуп, экилик өзгөрмөлөрдүн алардын салымына кандайча кошулаарын көрө алабыз.
Келгиле, \(X \) функциясын n экилик сыноодогу ийгиликтердин саны катары аныктайлы. Тактап айтканда, \(X_i \) функциясы i-сыноонун жыйынтыгын билдирген кокустук өзгөрмө болсун, эгер i-сыноо ийгиликтүү болсо, \(X_i = 1 \), ал эми ийгиликсиз болсо, \(X_i = 0 \) функциясын алалы. Анда, \(X \) функциясын төмөнкүдөй жазсак болот:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Ар бир \(X_i \) ийгиликтүү болуу ыктымалдуулугу p болгон экилик өзгөрмө болгондуктан, \(X_i \) күтүлгөн мааниси:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Xтин күтүлгөн мааниси үчүн күтүлгөн маанинин сызыктуулук касиетин колдоно алабыз:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Бул биномдук бөлүштүрүүнүн күтүлгөн мааниси np экенин көрсөтүп турат.
Иллюстративдик мисал
Тыйынды 10 жолу оодарган учурду карап көрөлү. Келгиле, тыйындын баштары пайда болгон оодаруулардын санынын күтүлгөн мааниси кандай болорун сурайлы.
Бул учурда:
– n = 10 (тыйын ыргытуулардын саны)
– p = 0.5 (тыйын адилеттүү болгондуктан, баштарды алуу ыктымалдыгы)
Ошентип, күтүлгөн баалуулук:
\[E(X) = np = 10 \0.5 = 5 жолу \]
Бул эгерде биз тыйынды узак мөөнөттүү келечекте 10 жолу кайталап оодарсак, орточо эсеп менен 5 жолу тыйындын башын алабыз дегенди билдирет.
Дисперсия жана стандарттык четтөө
Күтүлгөн мааниден тышкары, биномдук бөлүштүрүүнүн дисперсиясын жана стандарттык четтөөсүн түшүнүү да маанилүү.
Биномдук бөлүштүрүү үчүн, дисперсиясы \( \sigma^2 \) жана стандарттык четтөө \( \sigma \) төмөнкүдөй:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Дисперсия маалыматтардын күтүлгөн мааниден канчалык алыс тараганын өлчөйт. Стандарттык четтөө дисперсиянын квадраттык тамыры болуп саналат жана ошондой эле маалыматтардын таралышын өлчөйт, бирок баштапкы маалыматтар менен бирдей бирдиктерде.
Корутунду
Биномдук бөлүштүрүү статистика жана ыктымалдуулук жаатындагы фундаменталдык түшүнүк болуп саналат жана бизнестен баштап коомдук илимдерге жана биологияга чейинки ар кандай реалдуу дүйнөдөгү колдонмолордо көп кездешет. Биномдук бөлүштүрүүнүн күтүлгөн мааниси, np катары эсептелип, бир катар экилик сыноолордун орточо ийгиликтеринин саны жөнүндө маанилүү түшүнүк берет. Күтүлгөн маани, дисперсия жана стандарттык четтөө түшүнүктөрүн түшүнүү менен, биз биномдук бөлүштүрүүнүн мүнөздөмөлөрүн жана анын күнүмдүк жашоодогу айрым кубулуштарды кандайча сүрөттөй турганын так түшүнө алабыз.
Бул билим маалыматтарды талдоодо жана статистикада гана эмес, ошондой эле ыктымалдуулукту жана белгисиздикти баалоону талап кылган чечимдерди кабыл алууда да абдан пайдалуу. Күтүлгөн маанини жана биномдук бөлүштүрүүнү түшүнүү бизге так божомолдорду жасоого жана маалыматтуу чечимдерди кабыл алууга жардам берет.
