Эки тегеректин абалы: Геометриялык анализ
Математикада, айрыкча геометрияда, эки тегеректин абалын түшүнүү маанилүү ролду ойнойт. Тегерекчелер теорияда да, практикалык колдонмолордо да көп кездешкен негизги геометриялык фигуралардын бири. Эки тегеректин абалы тегиздикке жайгаштырылганда бул эки фигуранын өз ара аракеттенүүсү жөнүндө түшүнүк берет. Бул изилдөө кесилишпеген жерден кесилишке чейин болушу мүмкүн болгон ар кандай өз ара аракеттенүүлөрдү талдоону камтыйт. Бул макалада эки тегеректин абалын жана ага байланыштуу ар кандай аспектилерди ар тараптуу карап чыгабыз.
Аныктамалар жана белгилер
Алгач, декарттык тегиздиктеги эки тегеректи формалдуу түрдө аныктайлы. Борбору (P_1(x_1, y_1)) жана радиусу (r_1) болгон (C_1) тегерегин төмөнкү теңдеме менен туюнтса болот:
\[
C_1: (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r_1^2
\]
Ошо сыяктуу эле, борбору (P_2(x_2, y_2)) жана радиусу (r_2) болгон (C_2) тегерек төмөнкүдөй белгиленет:
\[
C_2: (x – x_2)^2 + (y – y_2)^2 = r_2^2
\]
Бул эки тегеректин абалы алардын борборлорунун ортосундагы аралыкка (\(d\)) жана радиустарынын узундугуна жараша болот. \(P_1\) жана \(P_2\) эки тегеректин борборлорунун ортосундагы \(d\) аралыкты төмөнкү формула менен эсептесе болот:
\[
d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
Эки тегерек позициясынын категориясы
Жалпысынан алганда, эки тегерек беш позицияны башынан өткөрүшү мүмкүн:
1. Кокустук (Эки тегеректин дал келиши)
2. Кесилишпеген (бири-бирине карама-каршы)
3. Тышкы тангенс
4. Ички тийүү (Ички жанталашуу)
5. Кесилишүү
Бул категориялардын ар биринин өзүнүн геометриялык шарттары бар, аларды биз төмөндө кененирээк талкуулайбыз.
1. Кокустук (Эки тегеректин дал келиши)
Эгерде эки тегеректин борбору жана радиусу бирдей болсо, алар дал келген же дал келген деп эсептелет. Математикалык жактан алганда, бул төмөнкүдөй маанини билдирет:
\[
P_1 \эквиваленти P_2 \quad \text{and} \quad r_1 = r_2
\]
Бул учурда, \(d = 0\). Эки тегерек бирдей жана бир тегеректин ар бир чекити экинчи тегеректин чекити болуп саналат.
2. Кесилишпеген (бири-бирине карама-каршы)
Эки тегерек эки шартта кесилишпейт деп аталат:
– Биринчи шарт: Эки тегеректин (d) борборлорунун ортосундагы аралык алардын радиустарынын узундуктарынын суммасынан чоң болгондо:
\[
d > r_1 + r_2
\]
– Экинчи шарт: Бир тегерек экинчи тегеректин ичинде эч кандай тийбестен турганда. Бул төмөнкү учурларда болот:
\[
d < |r_1 - r_2| \] Эки учурда тең, \(C_1\) жана \(C_2\) тегерекчелеринин ортосунда жалпы чекит жок. 3. Сырткы жаным Эки тегерек бир чекитте тийип, бири-биринин сыртында жайгашкан болсо, алар сырткы жаным болот. Бул эки тегеректин борборлорунун ортосундагы аралык алардын радиустарынын суммасына барабар болгондо болот:
