Функциялар жана функция эместер: Математикадагы түшүнүктөрдү түшүнүү
Математикада биз көп учурда терең түшүнүүнү талап кылган абстракттуу түшүнүктөргө туш болобуз. Мындай фундаменталдуу, бирок маанилүү түшүнүктөрдүн бири - "функция". Бул түшүнүк математикада гана эмес, физика, информатика жана экономика сыяктуу ар кандай тармактарда да кездешет. Бирок, функцияларды жана функция эместерди айырмалоодо көп учурда башаламандык пайда болот. Бул макалада функция деген эмне, анын мүнөздөмөлөрү жана аны функция эместерден кантип айырмалоо керектиги терең талкууланат.
Функция деген эмне?
Жөнөкөй сөз менен айтканда, функция – бул бир көптүктүн ар бир элементин башка көптүктүн так бир элементи менен байланыштырган байланыш. Анын расмий аныктамасын карап көрөлү:
Функциянын расмий аныктамасы:
А көптүгүнөн В көптүгүнө чейинки f функциясы – бул Адагы ар бир элементти Вдагы бир гана элемент менен байланыштырган эреже. Ал \( f : A \rightarrow B \) деп жазылат.
Башкача айтканда, эгерде А топтомунда эки башка элемент болсо, алар В топтомундагы бир эле элемент менен байланыштуу болбошу керек.
Функциянын жөнөкөй мисалы катары адамдын дене температурасын (домен/А топтому) жана аны Цельсий градусу менен өлчөө (диапазон/В топтому) келтирсек болот. Ар бир адам бир гана дене температурасынын мааниси менен байланыштуу. Демек, бул аналогияда функция жеке адамдарды (домен элементтерин) дене температурасынын маанилерине (кодомен элементтери) байланыштырат.
Функционалдык мүнөздөмөлөрү
Бул түшүнүктү түшүнүүдө, байланыш функция деп эсептелиши үчүн аткарылышы керек болгон бир нече өзгөчө мүнөздөмөлөр бар:
1. Көптүктөр ортосундагы байланыштар:
Функция домендеги (булак топтому) ар бир элементти коддомендеги (максат топтому) так бир элемент менен байланыштырышы керек. Эгерде домендеги элемент коддомендеги бирден ашык элемент менен байланыштырылса, анда ал функция эмес.
2. Сингулярдуулук:
Домендеги элемент коддомендеги бир гана маани менен байланыштырылышы мүмкүн. Мисалы, эгерде f(a) = 3 жана f(a) = 5 бир убакта болсо, анда f функция эмес.
3. Домен бош эмес:
Функцияда домендеги ар бир элементтин коддоменде аналогу болушу керек, башкача айтканда, домен бош боло албайт.
Функция эмес
Жогорудагы үч мүнөздөмөгө жооп бербеген мамиле функция эмес деп аталат. Муну тереңирээк түшүнүү үчүн, келгиле, бир нече конкреттүү мисалдарды карап көрөлү.
1. Домендеги бир элемент коддомендеги бирден ашык элемент менен байланышкан:
Мисалы, студенттер (домен) экзамендин упайлары (кодомен) менен байланышкан байланыш бар деп элестетиңиз. Эгерде студент бир экзаменден бирден ашык упай ала алса (мисалы, бир эле экзаменден 75 жана 90), бул байланыш функция эмес.
2. Бардык эле домен элементтеринин жубу боло бербейт:
Айтылгандай, функцияда домендин бардык элементтеринин коддоменде аналогу болушу керек. Эгерде кандайдыр бир элементтин аналогу жок болсо, анда байланыш функция эмес.
Функцияны түшүнүү эмне үчүн маанилүү?
Бул функцияларды терең түшүнүү таза математикада гана эмес, башка ар кандай тармактардагы колдонмолордо да маанилүү:
1. Компьютер илими:
Функциялар программалоонун негизи болуп саналат, биз структураланган алгоритмдерди түзүү үчүн колдонгон куралдар. Функцияларды ишке ашыруу бизге модулдук жана түшүнүктүү код жазууга мүмкүндүк берет.
2. Физика:
Көптөгөн табигый константалар жана физикалык мыйзамдар функциялар аркылуу туюнтулат. Мисалы, Ньютондун муздатуу мыйзамын температуранын убакытка болгон катышы катары туюнтса болот.
3. Экономика:
Функциялар экономикалык моделдерде киреше жана керектөө сыяктуу ар кандай өзгөрмөлөрдүн ортосундагы байланышты алдын ала айтуу үчүн колдонулат.
Функцияны көрсөтүү
Функциялар муктаждыктарга жана контекстке жараша ар кандай формада көрсөтүлүшү мүмкүн:
1. Таблица:
Функцияларды домен жана кодомеин элементтеринин жуптарын көрсөткөн таблицалар менен көрсөтүүгө болот. Мисалы, күнүмдүк температураны (доменди) жана сатылган балмуздак конустарынын санын (кодоменди) көрсөткөн таблица.
2. График:
Функция графиктери функцияларды көрсөтүүнүн эң натыйжалуу жолдорунун бири болуп саналат. Графта домен көбүнчө x огу менен, ал эми кодокомпания y огу менен белгиленет. Функция - бул вертикалдык сызык тестинен өткөн граф, башкача айтканда, ар бир вертикалдык сызык графикти так бир чекитте кесилишкен.
3. Теңдеме:
Функциянын алгебралык формасы математикада функцияны туюнтуунун эң кеңири таралган жолу болуп саналат. Мисалы, сызыктуу функция \(f(x) = mx + c \) же квадраттык функция \(f(x) = ax^2 + bx + c \).
Функциялардын жана функция эместердин мисалдары
Функцияларды түшүнүүбүздү бекемдөө үчүн бир нече мисалдарды карап көрөлү:
1-мисал:
– Функция: Бизде A = {1, 2, 3} жана B = {4, 5, 6} көптүктөрү бар. \(f \) функциясы \(f(1) = 4 \), \(f(2) = 5 \) жана \(f(3) = 6 \) экенин аныктайт.
– Функция эмес: Эгерде \(f\) \(f(1) = 4\) жана \(f(1) = 5\) экенин аныктаса, бул байланыш функция эмес экени айдан ачык, анткени домендеги бир элемент коддомендеги бирден ашык элементке туташкан.
2-мисал:
– Функция: Студент (домен) тесттин жыйынтыгы (кодомен) менен байланышкан.
– Функция эмес: Бир эле студент бир экзаменден эки башка упай ала албайт. Эгерде эки упай болсо, анда байланыш функция болуп саналбайт.
Корутунду
Жогорудагы түшүндүрмөдөн көрүнүп тургандай, функция математикадагы ар кандай тармактарда көптөгөн колдонмолорду тапкан фундаменталдык түшүнүк экенин көрө алабыз. Функция домендик жыйындыдагы ар бир элементти кододомендик жыйындыдагы бир гана элемент менен байланыштырат. Эгерде байланыш бул мүнөздөмөлөрдү канааттандырбаса, ал функция эмес. Функция менен функция эместин айырмасын түшүнүү андан ары математикалык изилдөө жана күнүмдүк жашоодо практикалык колдонуу үчүн бекем негиз түзөт.
