Мамыча векторлорун жана сап векторлорун талкуулоо боюнча мисал суроолор
Математикада, айрыкча сызыктуу алгебрада, векторлор физикалык моделдөөдөн баштап эсептөөгө чейин ар кандай колдонмолордо көп колдонулган фундаменталдык түшүнүк болуп саналат. Мамыча векторлору жана сап векторлору вектордук көрсөтүүнүн эки түрү болуп саналат, алардын ар биринин өзүнүн мүнөздөмөлөрү жана колдонулушу бар. Бул макалада мамыча векторлору жана сап векторлору менен байланышкан мисал маселелер жана алардын чечимдери талкууланат.
Мамыча векторунун жана сап векторунун аныктамасы
Мисал суроолорго жана аларды талкуулоого өтүүдөн мурун, алгач мамыча векторлорунун жана сап векторлорунун негизги аныктамаларын карап чыгалы.
– Мамыча векторлору – бул мамычага, башкача айтканда, бир вертикалдык өлчөмгө жайгаштырылган векторлор. Мисал:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Катар векторлору – бул катарлар менен, башкача айтканда, бир горизонталдык өлчөмдө жайгашкан векторлор. Мисал:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 жана 1 жана 7 \end{pmatrix}
\]
1-мисал: Мамыча векторлорун кошуу
Суроо:
Төмөнкү эки мамыча векторлору берилген:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Эки тилкелүү векторлордун суммасын эсептегиле.
Чечим:
Эки мамычалуу векторлорду кошуу алардын тиешелүү элементтерин кошуу менен жүргүзүлөт.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Ошентип, \(\mathbf{u}\) жана \(\mathbf{v}\) тин суммасы \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) болуп саналат.
2-мисал суроо: Сап векторлорун кошуу
Суроо:
Төмөнкү эки сап векторлору берилген:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Эки сап векторлорунун суммасын эсептегиле.
Чечим:
Эки катар векторлорду кошуу тиешелүү элементтерди кошуу менен жүргүзүлөт.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Ошентип, \(\mathbf{a}\) жана \(\mathbf{b}\) тин суммасы \(\begin{pmatrix} 3 жана 7 жана 11 \end{pmatrix}\) болуп саналат.
3-мисал: Мамыча векторлору боюнча скалярдык көбөйтүү
Суроо:
\(\mathbf{c}\) тилке вектору жана \(k\) скалярдык чоңдук берилген:
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Скалярдык көбөйтүүнүн жыйынтыгын эсептегиле.
Чечим:
Мамыча вектору менен скалярдык көбөйтүү вектордун ар бир элементин скалярдык көбөйтүү жолу менен жүргүзүлөт.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \убакыт -3 \\
2 жолу 4
2 \5ти көбөйтүү
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Ошентип, скалярдык \(2\) чоңдукту \(\mathbf{c}\) тилке векторуна көбөйтүүнүн жыйынтыгы \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) болуп калат.
4-мисал суроо: Катар векторлору боюнча скалярдык көбөйтүү
Суроо:
Сап вектору \(\mathbf{d}\) жана скалярдык \(m\) берилген:
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Скалярдык көбөйтүүнүн жыйынтыгын эсептегиле.
Чечим:
Катар вектору боюнча скалярдык көбөйтүү вектордун ар бир элементин скалярдык көбөйтүү жолу менен жүргүзүлөт.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Ошентип, скалярдык \(-3\) чоңдукту \(\mathbf{d}\) катар векторуна көбөйтүүнүн жыйынтыгы \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) болуп калат.
5-мисал: \(1 \3көбүрөөк\) матрицасын \(3 \1көбүрөөк\)га көбөйтүү (Катар векторун тилке вектору боюнча)
Суроо:
\(\mathbf{e}\) сап вектору жана \(\mathbf{f}\) мамыча вектору берилген:
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Эки вектордун көбөйтүндүсүн эсептегиле.
Чечим:
Матрицалык көбөйтүүнү аткаруу үчүн, сап вектору \(\mathbf{e}\) \(1 \times 3\) матрица катары, ал эми мамыча вектору \(\mathbf{f}\) \(3 \times 1\) матрица катары каралат. Бул көбөйтүүнүн натыйжасы скалярдык сан, башкача айтканда, тиешелүү элементтердин көбөйтүндүлөрүнүн суммасы болуп саналат:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 \times 5) + (-1 \times 3) + (4 \times -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Демек, сап векторун \(\mathbf{e}\) мамыча векторуна \(\mathbf{f}\) көбөйтүүнүн жыйынтыгы \(-1\) болот.
6-мисал: \(3 \1ге көбөйтүлгөн\) матрицасын \(1 \3кө көбөйтүү) га көбөйтүү (Тилке векторун катар вектору боюнча)
Суроо:
Берилген мамыча вектору \(\mathbf{g}\) жана сап вектору \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 жана 5 жана 6 \end{pmatrix}
\]
Эки вектордун көбөйтүндүсүн эсептегиле.
Чечим:
Мамыча векторун сап векторуна матрицалык көбөйтүү (\(3 \times 1\)) матрицасын (\(1 \times 3\)) көбөйтүп, \(3 \times 3\) матрицасын алат. Ар бир жаңы элемент ага тиешелүү элементтердин көбөйтүндүсү болуп саналат:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 жана 5 жана 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \жолу 4 жана 1 \жолу 5 жана 1 \жолу 6 \\
2 \жолу 4 жана 2 \жолу 5 жана 2 \жолу 6 \\
3 \ 4 жолу жана 3 \ 5 жолу жана 3 \ 6 жолу
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 жана 5 жана 6 \\
8 жана 10 жана 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Ошентип, \(\mathbf{g}\) мамыча векторун \(\mathbf{h}\) сап векторуна көбөйтүүнүн жыйынтыгы төмөнкүдөй матрицаны алат:
\[
\баштоо{pmatrix}
4 жана 5 жана 6 \\
8 жана 10 жана 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Корутунду
Бул макалада биз мамыча жана сап векторлорун камтыган бир нече мисалдарды көрдүк. Мамыча жана сап векторлорун кошуу алардын тиешелүү элементтерин кошуу менен ишке ашат. Векторго скалярдык көбөйтүү да вектордун ар бир элементин скалярдык санга көбөйтүү менен ишке ашат. Акырында, биз сап жана мамыча векторлорун кантип көбөйтүүнү үйрөндүк, алардын тартибине жараша скалярдык сан же матрица алынат. Бул негизги операцияларды өздөштүрүү сызыктуу алгебра жана маалыматтарды талдоодо татаалыраак колдонмолор үчүн абдан маанилүү.
