Тескери векторлорду талкуулоочу маселелердин мисалы
Вектор – бул чоңдугу да, багыты да бар математикалык объект. Векторлорду изилдөөдө биз көп учурда белгилүү бир касиеттерге ээ векторлорго туш болобуз. Векторлордогу бир негизги түшүнүк – тескери вектор же терс вектор. Бул макалада тескери векторлордун мисалдары жана талкуусу каралат.
Тескери векторлорду түшүнүү
Тескери вектор, көбүнчө терс вектор деп аталат, бул баштапкы вектор менен бирдей чоңдукта, бирок карама-каршы багытта болгон вектор. Эгерде вектор \(\vec{a}\) менен белгиленсе, анда анын тескери вектору \(-\vec{a}\) болот. Математикалык жактан алганда, эгер \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) болсо, анда \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
1-мисал суроо
\(\vec{a} = (3, 4, -2)\) вектору берилген. \(\vec{a}\) тин тескери векторун аныктагыла.
Талкуу:
\(\vec{a}\) тескери векторун аныктоо үчүн, анын ар бир вектордук компонентин терс мааниге өзгөртүү керек:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
Демек, \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) тескери вектору \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\) болуп саналат.
2-мисал суроо
\(\vec{b} = (7, -5, 0)) вектору болсун. \(\vec{b}) векторунун тескери векторун таап, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}) экенин текшериңиз.
Талкуу:
Алгач, биз \(\vec{b}\ тин тескери векторун аныктайбыз:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
Андан кийин, \(\vec{b}\) векторун жана анын тескери векторун кошуу нөлдүк векторду пайда кылаарын текшеребиз:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
Вектордун компоненттерин кошобуз:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
Демек, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), \(\vec{b}\) векторун жана анын тескери векторун кошуунун натыйжасы нөл вектору экени далилденген.
3-мисал суроо
\(\vec{u} = (2, -1)\) жана \(\vec{v} = (-2, 1)\) векторлору берилген. \(\vec{u}\) \(\vec{v}\) тин тескери векторубу?
Талкуу:
\(\vec{u}\) жана \(\vec{v}\) тескери векторлорбу же жокпу, аныктоо үчүн, \(\vec{v} = -\vec{u}\) экенин текшеришибиз керек.
\(-\vec{u}\) деп эсептеңиз:
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
Көрсө, \(-\vec{u} = \vec{v}) экен, бул \(\vec{u}) вектору чындыгында \(\vec{v}) векторунун тескери вектору экенин билдирет.
4-мисал суроо
Эгерде \(\vec{w}\) векторунун чоңдугу 5ке барабар жана багыты \(\vec{p} = (4, 3)\) векторуна карама-каршы экени белгилүү болсо, \(\vec{w}\) функциясын компонент түрүндө аныктаңыз.
Талкуу:
Алгач, биз \(\vec{p}\ векторунун чоңдугун табабыз:
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\(\vec{w}\) чоңдугу \(\vec{p}\) менен бирдей, бирок тескери багытка ээ болгондуктан, анда:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
Демек, компонент түрүндөгү \(\vec{w}\) вектору \(\vec{w} = (-4, -3)\).
5-мисал суроо
A(2, 3) жана B(4, 7) чекиттери берилген. A чекитинен B чекитине чейинки жайгашкан векторду жана ал векторго карама-каршы келген векторду аныктагыла.
Талкуу:
А чекитинен В чекитине чейинки позиция вектору:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
\(\vec{AB}\ функциясынын тескери вектору:
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
Демек, \(\vec{AB} = (2, 4)\) абал векторуна тескери вектор \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) болуп саналат.
6-мисал суроо
\(\vec{m} = (x, y)\) вектору жана \(\vec{m}\) функциясынын тескери вектору \( (-5, 12)\) болгону берилген. x жана y функцияларынын маанилерин аныктагыла.
Талкуу:
\(\vec{m}\) функциясынын тескери вектору \( (-x, -y) \), жана маселеге ылайык, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
Вектордук компоненттерди дал келтирүү менен биз төмөнкүлөрдү алабыз:
\[
-x = -5 \ x = 5 дегенди билдирет
\]
\[
-y = 12 \y = -12 дегенди билдирет
\]
Демек, \(x\) функциясынын мааниси 5ке, ал эми \(y\) функциясынын мааниси -12ге барабар.
Корутунду
Тескери векторлор – бул бирдей чоңдуктагы, бирок карама-каршы багыттагы векторлор. Тескери векторлор түшүнүгүн түшүнүү менен, биз векторлорго байланыштуу ар кандай маселелерди, мисалы, вектордун терс санын аныктоо, векторлорду нөлгө кошууну текшерүү жана башкалар сыяктуу маселелерди чече алабыз. Жогорудагы мисал маселелерди талкуулоо тескери векторлор менен иштөө боюнча билимибизди жана түшүнүгүбүздү жогорулатат деп күтүлүүдө.
