Координаталар системасындагы эки өлчөмдүү векторлорду талкуулоо боюнча мисал суроолор
Вектор – бул чоңдугу да, багыты да бар чоңдук. Векторлор ар кандай кубулуштарды чагылдыруу үчүн ар кандай математика жана физика темаларында көп колдонулат. Бул макалада биз координата системасындагы эки өлчөмдүү векторлордун мисалдарын талкуулайбыз.
Координаталар системаларындагы векторлордун негизги түшүнүктөрү
Эки өлчөмдүү координаттар системасындагы векторду \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) деп көрсөтүүгө болот, мында \(a_1\) - вектордун x-компоненти, ал эми \(a_2\) - вектордун y-компоненти. Векторду эки компонентке, атап айтканда, x-компонентине жана y-компонентине ажыратса болот.
Вектордук кошуу жана кемитүү
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) жана \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) эки векторду кошуу:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Ал эми кыскартуу төмөнкүдөй:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Скалярдык көбөйтүү
Эгерде \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) жана \(k\) скалярдык сан болсо, анда \(k\vec{A}\) төмөнкүдөй болот:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Вектордук чоңдук
\(\vec{A} = (a_1, a_2)\) векторунун чоңдугу же узундугу:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Бирдик вектору
Бирдик вектору – бул узундугу бир бирдикке барабар вектор. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) бирдик вектору:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Үлгү суроолор жана талкуу
1-суроо: Векторлорду кошуу жана кемитүү
Эки вектор төмөнкүдөй берилген: \(\vec{A} = (3, 4)\) жана \(\vec{B} = (1, 2)\). \(\vec{A} + \vec{B}\) жана \(\vec{A} – \vec{B}\) векторлорунун көбөйтүндүсүн тапкыла.
Талкуу:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
2-суроо: Скалярдык көбөйтүү
\(\vec{C} = (2, -3)\) вектору берилгендиктен, \(3\vec{C}\) жана \(-2\vec{C}\) эсептегиле.
Талкуу:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
3-суроо: Вектордук чоңдук
\(\vec{D} = (5, 12)\) векторунун чоңдугун эсептегиле.
Талкуу:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
4-суроо: Бирдик векторлору
\(\vec{E} = (4, 3)\) векторунун бирдик векторун табыңыз.
Талкуу:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
5-суроо: Векторлордун абалы жана аралыгы
Эки өлчөмдүү координата тегиздигиндеги эки чекит P(2, 3) жана Q(5, 7). P чекитинен Q чекитине чейинки позиция векторун жана алардын ортосундагы аралыкты аныктагыла.
Талкуу:
Pден Qге чейинки позиция вектору:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
P жана Q чекиттеринин ортосундагы аралык:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
6-суроо: Чекиттүү көбөйтүндү натыйжасы
Эгерде \(\vec{F} = (-3, 4)) жана \(\vec{G} = (2, 1)) болсо, \(\vec{F} \cdot \vec{G}) функциясынын чекиттик көбөйтүндүсүн эсептегиле.
Талкуу:
Эки вектордун чекиттик көбөйтүндүсү:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
7-суроо: Эки вектордун ортосундагы бурч
Эгерде \(\vec{H} = (7, -4)\) жана \(\vec{I} = (3, 0)\) болсо, эки вектордун ортосундагы бурчту аныктагыла.
Талкуу:
Эки вектордун ортосундагы бурчту аныктоо үчүн төмөнкү формуланы колдонобуз:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|} дегенди билдирет.
\]
Алгач, чекиттик көбөйтүндүнү эсептеңиз \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Андан кийин, \(\vec{H}\) жана \(\vec{I}\ чоңдуктарын эсептегиле:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Бул маанилерди формулага киргизиңиз:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Ошентип, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
8-суроо: Вектордук проекция
\(\vec{J} = (2, 1)\) жана \(\vec{K} = (-1, 3)\) векторлору үчүн \(\vec{J}\) нын \(\vec{K}\) боюнча проекциясын эсептегиле.
Талкуу:
\(\vec{J}\) тин \(\vec{K}\) га проекциясы төмөнкүдөй:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \оң) \vec{K}
\]
Алгач, чекиттик көбөйтүндүнү эсептеңиз \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Анда, \(\vec{K}\ чоңдугу):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Демек,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Формулага киргизиңиз:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Булар координата системасындагы эки өлчөмдүү векторлорго байланыштуу маселелердин жана талкуулардын мисалдары. Векторлорду жакшы түшүнүү математика, физика жана инженериядагы көптөгөн колдонмолордо пайдалуу болушу мүмкүн. Ар кандай мисалдар менен машыгуу бул түшүнүктү тереңирээк түшүнүүгө жана аны ар кандай кырдаалдарда натыйжалуу колдонууга мүмкүндүк берет.
