Мисал суроолор жана талкуу: Бир маалыматтын дисперсиясы жана стандарттык четтөөсү
Статистика - маалыматтарды чогултуу, талдоо, чечмелөө, көрсөтүү жана уюштуруу менен байланышкан математиканын бир тармагы. Статистикадагы эки маанилүү түшүнүк - дисперсия жана стандарттык четтөө. Бул макалада бир нече мисал маселелер аркылуу бир гана маалыматтар топтомунун дисперсиясын жана стандарттык четтөөсүн кантип эсептөө керектиги кеңири талкууланат.
Дисперсияны жана стандарттык четтөөнү түшүнүү
Дисперсия – бул маалыматтар топтомундагы сандар орточо мааниден же орточо мааниден канчалык алыс жайгашканын сандык жактан аныктоочу өлчөө. Дисперсия баштапкы маалыматтардын квадраттык бирдиктеринде көрсөтүлөт, бул аны чечмелөөнү көп учурда кыйындатат.
Стандарттык четтөө дисперсиянын квадрат тамыры болуп саналат. Ал маалыматтардын орточо мааниден канчалык алыска кеткенин интуитивдик өлчөө менен камсыз кылат, анткени анын бирдиктери маалыматтардын баштапкы бирдиктери менен бирдей.
Жалпы формула
Бир маалыматтар үчүн, популяциянын дисперсиясынын \( \sigma^2 \) жана стандарттык четтөөсүнүн \( \sigma \) формуласы төмөнкүчө:
1. Дисперсия (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Стандарттык четтөө (σ):
\( \sigma = \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Кайда:
– \( N \) – популяциядагы маалыматтардын саны.
– \( x_i \) ith маалымат мааниси.
– \( \mu \) – маалыматтардын орточо мааниси же орточо мааниси.
Эгерде биз үлгүнүн дисперсиясын жана стандарттык четтөөсүн эсептесек, анда жогорудагы формула бир аз өзгөртүлөт:
1. Үлгү дисперсиясы (с²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Стандарттык четтөөнүн үлгүсү (лары):
\( s = \sm_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Кайда:
– \( n \) – үлгүдөгү маалыматтардын саны.
– \( \bar{x} \) - бул үлгүнүн орточо мааниси же орточо мааниси.
Үлгү суроолор жана талкуу
1-мисал суроо:
Төмөнкү маалыматтарды эске алуу менен:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Маалыматтардын дисперсиясын жана стандарттык четтөөсүн эсептегиле!
Чечим кадамдары:
1. Орточо маанини (орточо маанини) эсептөө \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Маалыматтар менен орточо көрсөткүчтүн ортосундагы айырманы, андан кийин квадратты эсептегиле:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Бардык квадраттык жыйынтыктарды кошуу:
\[
\суммасы (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Популяция маалыматтарынын дисперсиясын (σ²) эсептөө:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Эскертүү: Бул маалыматтар калктын саны катары көрсөтүлгөндүктөн, биз аны 6га бөлөбүз.
5. Стандарттык четтөөнү (σ) эсептөө:
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \болжол менен 1.886
\]
Ошентип, маалыматтардын дисперсиясы 3.559, ал эми стандарттык четтөө 1.886.
2-мисал суроо:
Төмөнкү үлгү маалыматтар берилген:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Тандоо боюнча дисперсияны жана стандарттык четтөөнү эсептегиле!
Чечим кадамдары:
1. Орточо маанини (орточо) эсептөө \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Маалыматтар менен орточо көрсөткүчтүн ортосундагы айырманы, андан кийин квадратты эсептегиле:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Бардык квадраттык жыйынтыктарды кошуу:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Үлгү дисперсиясын (s²) эсептөө:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Эскертүү: Бул үлгү маалыматтар болгондуктан, биз 5ке (n-1) бөлөбүз.
5. Стандарттык четтөөнү эсептөө:
\[
s = \sqrt{5.351} \болжол менен 2.313
\]
Ошентип, үлгү маалыматтарынын дисперсиясы 5.351ге, ал эми стандарттык четтөө 2.313кө барабар.
Корутунду
Дисперсияны жана стандарттык четтөөнү эсептөө берилген топтомдун ичинде маалыматтардын таралышы кандай экенин түшүнүү үчүн абдан маанилүү. Дисперсия баштапкы бирдиктердин квадраттарында дисперсиянын теориялык өлчөмүн камсыз кылса, стандарттык четтөө дисперсиянын өлчөмүн маалыматтардын баштапкы бирдиктери аркылуу чечмелейт, бул аны түшүнүүнү жеңилдетет. Маалыматтарды талдоодо бул эки өлчөө көбүнчө маалыматтардын өзгөрмөлүүлүгүн баалоо жана статистикалык чечимдерди кабыл алуу үчүн колдонулат.
Керектүү кадамдарды жана формулаларды түшүнүү менен, биз күнүмдүк маалыматтарды чогултууда жана талдоодо кездешүүчү ар кандай кырдаалдар үчүн дисперсияны жана стандарттык четтөөнү оңой эсептей алабыз. Бул макала бир маалымат топтомдорундагы дисперсия жана стандарттык четтөө түшүнүктөрүн тереңирээк түшүнүүгө жардам берет деп үмүттөнөбүз.
