Математикалык котормо суроолорунун жана талкууларынын мисалдары
Котормо – бул тегиздиктеги ар бир чекитти белгилүү бир аралыкка, белгилүү бир багытта жылдыруучу геометриялык трансформация. Математикада котормо көбүнчө объектини формасын же багытын өзгөртпөстөн бир багытка жылдыруу үчүн колдонулат. Бул макалада окурмандарга бул түшүнүктү жакшыраак түшүнүүгө жардам берүү үчүн математикалык котормого байланыштуу бир нече мисал маселелерди жана талкууларды талкуулайбыз.
Котормонун негизги түшүнүктөрү
Эки өлчөмдүү координаталардагы которуу вектордук белгилөөнү колдонуу менен туюнтса болот. Эгерде A(x, y) чекити \((a, b)\) вектору менен которулса, анда пайда болгон A' (\(x'\), \(y'\)) чекитин төмөнкү формула менен эсептөөгө болот:
\[ x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
Димана:
– \( (x, y) \) баштапкы координата болуп саналат,
– \( (a, b) \) котормо вектору,
– \( (x', y') \) котормонун натыйжасынын координаттары.
Үлгү суроолор жана талкуу
Математикалык котормо жана алардын талкуулары боюнча суроолордун айрым мисалдары:
1-мисал суроо:
Суроо:
А чекити (3, 4) координаталарында жайгашкан. А чекитин \( (5, -2) \) вектору менен которгула. А чекитинин жаңы координаталарын аныктагыла.
Талкуу:
Ал белгилүү:
\[ \text{А чекитинин баштапкы координаталары} = (3, 4) \]
\[ \text{Котормо вектору} = (5, -2) \]
Которуу формуласын колдонуңуз:
\[ x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
Маанилерди алмаштырыңыз:
\[x' = 3 + 5 = 8 \]
\[ y' = 4 + (-2) = 2 \]
Демек, А чекитинин которулгандан кийинки жаңы координаталары \( (8, 2) \).
2-мисал суроо:
Суроо:
Үч бурчтуктун чоку координаталары √(A(1, 2)), √(B(3, 5)) жана √(C(6, 1)) болот. Үч бурчтукту √(-2, 4)) вектору менен которуу керек. Которулгандан кийинки үч бурчтуктун чоку координаталарын аныктагыла.
Талкуу:
Үч бурчтуктун чокусунун жана трансляция векторунун координаталары белгилүү.
А' чекитинин координаттары:
\[x' = 1 + (-2) = -1 \]
\[ y' = 2 + 4 = 6 \]
Анда, \( A' = (-1, 6) \).
B' чекитинин координаттары:
\[x' = 3 + (-2) = 1 \]
\[ y' = 5 + 4 = 9 \]
Анда, \( B' = (1, 9) \).
C' чекитинин координаттары:
\[x' = 6 + (-2) = 4 \]
\[ y' = 1 + 4 = 5 \]
Анда, \( C' = (4, 5) \).
Ошентип, которуудан кийин, жаңы үч бурчтуктун чокуларынын координаттары √(A'(-1, 6)), √(B'(1, 9)) жана √(C'(4, 5)) болот.
3-мисал суроо:
Суроо:
\( (-3, 0) \) координаталарында P чекити берилген. P чекитин \( (7, -5) \) вектору боюнча которуунун натыйжасын аныктагыла.
Талкуу:
P координаталары жана трансляция вектору берилген.
Которуу формуласын колдонуңуз:
\[ x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
Маанилерди алмаштырыңыз:
\[x' = -3 + 7 = 4 \]
\[ y' = 0 + (-5) = -5 \]
Демек, Р чекитинин которуу натыйжасынын координаттары \( (4, -5) \).
4-мисал суроо:
Суроо:
Q чекити \( (4, -3) \) координаталарында жайгашкан. Эгерде Q чекити жаңы координаталар \( (9, 1) \) болуп которулса, колдонулган которуу векторун аныктагыла.
Талкуу:
Ал белгилүү:
\[ \text{Баштапкы координаталар} = (4, -3) \]
\[ \text{Натыйжа координаттары} = (9, 1) \]
Трансляция формуласын колдонуп, \( (a, b) \) векторун табыңыз:
\[ x' = x + a \]
\[ y' = y + b \]
Котормонун жыйынтыктары белгилүү:
\[9 = 4 + а \]
\[ 1 = -3 + b \]
Ошентип, котормо векторун төмөнкүчө эсептөөгө болот:
\[ а = 9 – 4 = 5 \]
\[b = 1 + 3 = 4 \]
Демек, колдонулган трансляция вектору \( (5, 4) \).
5-мисал суроо:
Суроо:
Төрт бурчтуу ABCDдин бурчтук чекиттери \( A(1, 2) \), \( B(1, 5) \), \( C(4, 5) \) жана \( D(4, 2) \) ге барабар. Төрт бурчтукту \( (3, -1) \) вектору менен которуу. Төрт бурчтуу ABCDдин жаңы координаталарын аныктагыла.
Талкуу:
Ал белгилүү:
\[ \text{Котормо вектору} = (3, -1) \]
А' чекитинин координаттары:
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[ y' = 2 + (-1) = 1 \]
Анда, \( A' = (4, 1) \).
B' чекитинин координаттары:
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[ y' = 5 + (-1) = 4 \]
Анда, \( B' = (4, 4) \).
C' чекитинин координаттары:
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[ y' = 5 + (-1) = 4 \]
Анда, \( C' = (7, 4) \).
D' чекитинин координаттары:
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[ y' = 2 + (-1) = 1 \]
Анда, \( D' = (7, 1) \).
Ошентип, төрт бурчтуу ABCDнин которулгандан кийинки жаңы координаталары √(A'(4, 1)), √(B'(4, 4)), √(C'(7, 4)) жана √(D'(7, 1)) болуп саналат.
Корутунду
Котормо геометриядагы абдан жөнөкөй, бирок маанилүү трансформация болуп саналат. Бул ыкманы өздөштүрүү бизге ар кандай геометриялык операцияларды, мисалы, объектилердин формасын же өлчөмүн өзгөртпөстөн жылдырууга мүмкүндүк берет.
Жогоруда талкууланган ар кандай мисал маселелер аркылуу котормо түшүнүгүн түшүнүү менен, окурмандар бул түшүнүктү ар кандай маселелерде жана реалдуу жашоодо жакшыраак түшүнүп, колдоно алышат деп үмүттөнөбүз. Котормо математикада гана эмес, физика, компьютердик графика жана дизайн сыяктуу башка ар кандай тармактарда да пайдалуу.
