Декарттык тегиздиктеги трансформацияны талкуулоо боюнча мисал суроолор
Декарттык тегиздиктеги трансформациялар математикада, айрыкча геометрияда маанилүү тема болуп саналат. Бул трансформациялар эки өлчөмдүү тегиздикте объектинин формасын жылдырууга же өзгөртүүгө багытталган которуу, чагылдыруу, айландыруу жана кеңейтүү сыяктуу ар кандай операцияларды камтыйт. Бул макалада бир нече мисал маселелер каралат жана алар декарттык тегиздиктеги трансформацияларга байланыштуу талкууланат.
Трансформациянын түрлөрү
Мисал маселесине өтүүдөн мурун, алгач төмөнкү трансформация түрлөрүн карап чыгалы:
1. Котормо (кезметтик)
Трансляция – бул тегиздиктеги чекиттин же нерсенин белгилүү бир аралыкка белгилүү бир багытта жылышы. Трансляцияны төмөнкүдөй аныктоого болот:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
мында \(a\) жана \(b\) горизонталдык жана вертикалдык жылышуу аралыктары.
2. Ой жүгүртүү
Чагылышуу – бул чекиттин же нерсенин x огу, y огу же башка сызык боюнча чагылышы. Мисалы, x огу боюнча чагылышы:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Айлануу (Спин)
Айлануу – бул чекиттин же нерсенин борбордук чекиттин айланасында белгилүү бир бурч менен айланышы. Саат жебесине каршы бурч менен айлануу төмөнкүчө туюнтулат:
\[
(x, y) \оң жебе (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Кеңейтүү (масштабдоо)
Дилатация – бул объекттин өлчөмүнүн белгилүү бир масштаб коэффициентине өзгөрүшү. Эгерде масштаб коэффициенти \(k\) болсо, дилатацияны төмөнкүдөй туюнтса болот:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Үлгү суроолор жана талкуу
1-суроо: Котормо
Суроо:
\(A(2, 3)\) чекитинде оңго 5 бирдик жана өйдө 4 бирдик жылдыруу менен котормо аткарыңыз.
Талкуу:
\(5\) бирдиктерин оңго которуу x координатасын \(5\) көбөйтөт дегенди билдирет. "4 бирдик жогору" деген сүйлөм y координатасын \(4\) көбөйтөт дегенди билдирет. Которуунун натыйжасы:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Ошентип, которуудан кийинки \(A(2, 3)\) чекити төмөнкүдөй болот:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Демек, которуудан кийинки \(A(2, 3)\) чекити \(A'(7, 7)\).
2-суроо: Ой жүгүртүү
Суроо:
y огу боюнча \(B(-4, 7)\) чекитин чагылдырыңыз.
Талкуу:
У огу жөнүндө ой жүгүртүү х координатасын баштапкы х координатасынын терс жагына өзгөртөт, ал эми у координатасы ошол бойдон калат.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Ошентип, рефлексиядан кийинки \(B(-4, 7)\) чекити төмөнкүдөй болот:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Демек, y огу жөнүндө ой жүгүртүүдөн кийинки \(B(-4, 7)\) чекити \(B'(4, 7)\) болот.
3-суроо: Ротация
Суроо:
\(C(1, 2)\) чекитин борбору \(0, 0)\) баштапкы чекитинде болтуруп, саат жебесине каршы \(90^\circ\) буруңуз.
Талкуу:
Сааттын жебесине каршы (90^\circ) айлануу төмөнкүдөй туюнтулушу мүмкүн:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Ошентип, айлануудан кийинки \(C(1, 2)\) чекити төмөнкүдөй болот:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Демек, саат жебесине каршы айлангандан кийинки \(90^\circ\) чекити \(C'(-2, 1)\) болот.
4-суроо: Кеңейтүү
Суроо:
\(D(3, 4)\) чекитин масштаб коэффициенти \(k = 2\) менен кеңейтиңиз.
Талкуу:
\(2\) масштаб коэффициенти менен дилатация эки координатаны \(2\) га көбөйтүү дегенди билдирет.
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Ошентип, кеңейүүдөн кийинки \(D(3, 4)\) чекити төмөнкүдөй болот:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Демек, масштаб коэффициенти \(2\) менен кеңейүүдөн кийинки \(D(3, 4)\) чекити \(D'(6, 8)\) болот.
5-суроо: Трансформациялардын айкалышы
Суроо:
x огу жөнүндө ойлонуп, андан кийин \(k = 0.5\) масштаб коэффициенти менен \(E(8, -6)\) чекитинде кеңейтиңиз.
Талкуу:
Биринчи кадам - x огу жөнүндө ой жүгүртүү:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Экинчи кадам - масштаб коэффициенти \(0.5\) менен кеңейтүүнү аткаруу:
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Ошентип, x огу жөнүндө ой жүгүртүүдөн жана масштаб коэффициенти боюнча кеңейүүдөн кийинки \(E(8, -6)\) чекити \(E'(4, 3)\) болот.
6-суроо: Айландыруу жана которуу менен трансформациялоо
Суроо:
\(F(-3, 4)\) чекитин саат жебесине каршы \(180^\circ\) буруңуз, андан кийин натыйжаны \((2, -1)\) вектору менен которуңуз.
Талкуу:
Биринчи кадам - саат жебесине каршы \(180^\circ\) буроо:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Экинчи кадам - \((2, -1)\) вектору менен которууну аткаруу:
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Демек, 180^\circ\ айландыруудан жана 1(2, -1)\) вектору боюнча которулуудан кийинки 1(F(-3, 4)\) чекити 1(F'(5, -5)\) болот.
Корутунду
Декарттык тегиздиктеги трансформациялар геометриядагы маанилүү түшүнүк болуп саналат жана которуу, чагылдыруу, айландыруу жана кеңейтүү сыяктуу ар кандай операцияларды камтыйт. Трансформациянын ар бир түрү кандайча иштээрин түшүнүү менен, биз тегиздиктеги объекттин абалын же формасын оңой эле өзгөртө алабыз. Жогорудагы мисалдар аркылуу биз ар кандай трансформациялардын практикалык колдонулушун жана аларды кантип бириктирип, татаалыраак трансформацияларга жетүүгө болорун көрө алабыз. Бул макала декарттык тегиздиктеги трансформацияларды түшүнүүгө жардам берди деп үмүттөнөбүз.
