Аныкталган интегралдардын касиеттерине мисал суроолор жана талкуу
Анык интеграл - эсептөөдөгү фундаменталдык түшүнүк, ал математика, физика жана инженерия тармактарында кеңири колдонулууда абдан пайдалуу. Бул макалада биз анык интегралдын кээ бир маанилүү касиеттерин түшүндүрүп, теманы тереңирээк түшүнүү үчүн мисалдарды жана чечимдерди беребиз.
Аныкталган интегралдардын касиеттери
Мисал маселелерине өтүүдөн мурун, белгилүү интегралдардын билүү маанилүү болгон кээ бир негизги касиеттерин карап чыгалы:
1. Сызыктуулук касиети:
– Эгерде \(f(x) \) жана \(g(x) \) интегралдануучу функциялар жана \(a \) жана \(b \) туруктуулар болсо, анда:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. Туруктуу чоңдуктун интегралы:
– Эгерде \( c \) туруктуу болсо, анда:
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]
3. Интервалдык кошуунун касиеттери:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. Лимиттерди жокко чыгаруу:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
5. Ошол эле чекте нөл:
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]
1-мисал суроо: Сызыктуулук касиетин колдонуу
Маселелердин мисалы:
Төмөнкүлөрдүн маанисин эсептеңиз:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx
\]
Талкуу:
Сызыктуулук касиетин колдонуп, интегралдарды экиге бөлөбүз:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = \int_0^2 3x^2 \, dx + \int_0^2 2x \, dx
\]
Биринчи интегралды эсептеп көрөлү:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \right)
\]
\[
= 8
\]
Эми экинчи интегралды эсептейбиз:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 \left( 1 – 0 \right)
\]
\[
= 2
\]
Эки жыйынтыкты бириктириңиз:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]
2-мисал суроо: Туруктуу чоңдуктун интегралы
Маселелердин мисалы:
Төмөнкүлөрдүн маанисин эсептеңиз:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Талкуу:
Туруктуулардын интегралдык касиетин колдонуп, биз төмөнкүдөй жаза алабыз:
\[
\int_1^4 5 \, dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
3-мисал суроо: Лимиттин өзгөрүшүнүн касиеттери
Маселелердин мисалы:
Далилдеңиз:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]
Талкуу:
Биз \(x^2 \) интегралынан \([2, 5] \) аралыгындагы интегралдан баштайбыз:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
Эми, келгиле, \(x^2 \) интегралды \([5, 2] \) аралыгында эсептеп, жооптун белгисин тескерисинче кылып коёлу:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
Бул далилденген:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx.
\]
4-мисал суроо: Интервалдык кошуунун касиеттери
Маселелердин мисалы:
Эгерде \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) жана \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) белгилүү болсо, \(\int_2^6 f(x) \, dx\) маанисин эсептегиле.
Талкуу:
Интервалдарды кошуу касиетин колдонуу:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Корутунду
Анык интегралдын ар кандай маселелерди натыйжалуураак чечүүгө жардам бере турган көптөгөн маанилүү касиеттери бар. Бул макалада биз ушул негизги касиеттердин айрымдарын талкууладык жана бул касиеттерди иш жүзүндө кантип колдонсо болорун көрсөткөн мисалдарды келтирдик. Жетиштүү түшүнүк жана практика менен сиз анык интеграл маселелерин чоңураак ишенимдүүлүк менен чече аласыз.
