Тегеректин теңдемеси боюнча талкуу суроосунун мисалы
Тегеректин теңдемеси аналитикалык геометрияда маанилүү тема болуп саналат. Тегеректин теңдемесин жакшы түшүнүү математикада гана эмес, ар кандай инженердик жана илимий колдонмолордо да абдан пайдалуу. Бул макалада биз тегеректин теңдемелеринин бир нече мисалдарын жана алардын чыгарылыштарын талкуулайбыз. Максат - тегеректин теңдемелерине байланыштуу маселелерди кантип чечүү керектиги жөнүндө так жана ар тараптуу сереп берүү.
Тегеректин жалпы теңдемеси
Декарттык координаталардагы тегеректин эң кеңири таралган теңдемеси:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Кайда:
– \( (a, b) \) тегеректин борборунун координаттары.
– \( r \) – тегеректин радиусу.
Эгерде тегеректин борбору √(0, 0)√ чекитинде болсо, тегеректин теңдемеси төмөнкүдөй болот:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
Эми, келгиле, бир нече мисал суроолорду жана алардын чечимдерин талкуулайлы.
1-мисал суроо
Суроо: Борбору (3, -2) чекитинде жайгашкан жана радиусу 5ке барабар болгон тегеректин теңдемесин аныктагыла.
Чечим:
Тегеректин теңдемесинин жалпы формуласын колдонуңуз:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\(a = 3 \), \(b = -2 \) жана \(r = 5 \) маанилерин алмаштырыңыз:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Ошентип, тегеректин теңдемеси төмөнкүдөй болот:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
2-мисал суроо
Суроо: Борбору (0, 0) башталышында жайгашкан жана радиусу 7ге барабар болгон тегеректин теңдемесин аныктагыла.
Чечим:
Айлананын борбору башатта болгондуктан, биз жөнөкөй теңдемени колдоно алабыз:
\[x^2 + y^2 = r^2 \]
r = 7 маанисин алмаштырыңыз:
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Ошентип, тегеректин теңдемеси төмөнкүдөй болот:
\[x^2 + y^2 = 49 \]
3-мисал суроо
Суроо: Борбору (4, -5) чекитинде жайгашкан жана Y огуна тийген тегеректин теңдемесин аныктагыла.
Чечим:
Y огуна жанма тегерек тегеректин борборунан Y огуна чейинки аралык анын радиусуна барабар экенин билдирет. Бул аралык тегеректин борборунун X координатасынын абсолюттук мааниси. Демек, радиусу 4кө барабар.
Тегеректин теңдемесинин жалпы формуласын колдонуңуз:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
\(a = 4 \), \(b = -5 \) жана \(r = 4 \) маанилерин алмаштырыңыз:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Ошентип, тегеректин теңдемеси төмөнкүдөй болот:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
4-мисал суроо
Суроо: Тегеректин теңдемеси \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \) . Тегеректин борборун жана радиусун аныктагыла.
Чечим:
Бул теңдемени чыгаруу үчүн, аны стандарттык түргө айландырышыбыз керек \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Аны бүтүрүү кадамдары төмөнкүдөй:
1. Толук квадраттарды топтоо жана чыгаруу:
Баштапкы теңдеме:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
\(x \) жана \(y \) топтору:
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Идеалдуу квадратты чыгарыңыз:
\(x^2 – 6x \) үчүн:
\[ x^2 – 6x + 9 \]
\(y^2 + 4y \) үчүн:
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Теңдеменин эки тарабына тең 9 жана 4 сандарын кошуңуз:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Ошентип, тегеректин стандарттык түрүндөгү теңдемеси:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Мындан улам, тегеректин борбору \( (3, -2) \) жана радиусу \( r = \sqrt{25} = 5 \) экенин көрүүгө болот.
5-мисал суроо
Суроо: (2, 3) жана (4, 5) чекиттеринен өткөн жана борбору x = 3 сызыгында жайгашкан тегеректин теңдемесин аныктагыла.
Чечим:
Суроодон биз тегеректин борбору (3, b) экенин билебиз. Тегерек дагы эки белгилүү чекит аркылуу өтөт. Тегерек (2, 3) аркылуу өткөндүктөн, борбордон бул чекитке чейинки аралык радиус болуп саналат.
Тегеректин теңдемеси төмөнкүдөй:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Алмаштыруу чекити (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Алмаштыруу чекити (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Эки теңдемеден биз (3 – b)^2 = (5 – b)^2 экенин билебиз. Ошентип:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Эгерде \(3 – b = 5 – b \) болсо, натыйжа чындыкка дал келиши мүмкүн эмес. Ошентип:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[b = 4 \]
b = 4 болгондо, тегеректин теңдемеси төмөнкүдөй болот:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Бирок, биз r радиусун борбор менен (2, 3) чекитинин ортосундагы аралыктан эсептей алабыз = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Айлананын теңдемеси:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Корутунду
Тегеректин теңдемесин түшүнүү көптөгөн математикалык маселелерди чечүүнү жеңилдетет. Ар бир учурда борборду жана радиусун аныктоо абдан маанилүү. Бул мисал маселелер жана алардын түшүндүрмөлөрү сизге тегеректин теңдемесин үйрөнүүгө жардам берет жана тактоолорду киргизет деп үмүттөнөбүз. Математиканы машыгуу кемчиликсиз кылат, андыктан көндүмдөрүңүздү өркүндөтүү үчүн ар кандай маселелерди колдонуп көрүүдөн тартынбаңыз.
