Тегиздиктин аянтын эсептөөдө интегралдарды колдонуу боюнча мисал суроолор жана талкуу
Математиканы окутууда интегралдар көп учурда эсептөөлөрдө кездешет. Интегралдардын эң белгилүү колдонулуштарынын бири - ийри сызыктын же тегиздиктин астындагы аянтты эсептөө. Бул макалада бир нече мисал маселелер талкууланат жана тегиздиктин аянтын эсептөөдө интегралдарды колдонуу талкууланат.
Теорияга киришүү
Мисал маселесине өтүүдөн мурун, интегралдарды колдонуу менен ийри сызыктын астындагы аянтты эсептөөнүн негизги концепциясын карап чыгалы. Эгерде бизде [a, b] аралыгында үзгүлтүксүз болгон f(x) функциясы болсо, анда x = aдан x = bга чейинки y = f(x) ийри сызыгынын астындагы аянт төмөнкүдөй болот:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Геометриялык жактан алганда, бул биз x = aдан x = bга чейинки өтө ичке тик бурчтуктун аянтын кошуп жатабыз дегенди билдирет.
1-мисал суроо
Soal
[1, 3] аралыгындагы y = x² ийри сызыгынын астындагы аянтты эсептегиле.
Талкуу
Аянтты эсептөө үчүн биз интегралды колдонобуз:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Биз \(x^2 \) антитуундусун табуудан баштайбыз. \(x^2 \) антитуундусу \( \frac{x^3}{3} \) болуп саналат. Анда интеграл төмөнкүдөй болот:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Эсиңизде болсун, биз антидеривативди интегралдын чегинде баалашыбыз керек:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{3} \right) – \left( \frac{27}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Ошентип, x = 1ден x = 3кө чейинки y = x² ийри сызыгынын астындагы аянт:
\[ \frac{26}{3} \, \text{аянт бирдиги} \]
2-мисал суроо
Soal
y = x³ ийри сызыгы жана x = 1 жана x = 2 сызыктары менен чектелген аймактын аянтын аныктагыла.
Талкуу
Аянтты эсептөө үчүн биз интегралды колдонобуз:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Адаттагыдай эле, биз \(x^3 \) антитуундусун табуудан баштайбыз. \(x^3 \) антитуундусу \( \frac{x^4}{4} \). Интеграл төмөнкүдөй болот:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Интегралдын чегин баалоо:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{1}{4} \right) – \left( \frac{16}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Ошентип, x = 1ден x = 2ге чейинки y = x³ ийри сызыгынын астындагы аянт:
\[ \frac{15}{4} \, \text{аянт бирдиги} \]
3-мисал суроо
Soal
x = 0дон x = 1ге чейинки аралыктагы y = x² + 1 жана y = 2x + 2 ийри сызыктары менен чектелген аймактын аянтын аныктагыла.
Талкуу
Алгач, интегралдын чектерин аныктоо үчүн кесилиш чекиттерин табышыбыз керек. \(x^2 + 1 = 2x + 2 \) теңдемесинин чечими:
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Квадраттык формуланы колдонуу:
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Бирок, 0 жана 1 ортосундагы жогорку жана төмөнкү чектер үчүн квадраттык чечимди колдонуунун кажети жок, жөн гана 0дөн 1ге чейинки кадимки интегралдык чекти колдонобуз. Андан кийин, ушул чектерге ылайык, үстүнкү y ийри сызыгынын аянтын төмөнкү y ийри сызыгынан кемитип эсептейбиз:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Функцияны жөнөкөйлөтүү:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Андан кийин, биз антидеривативди табабыз:
√(-x^2) √) функциясынын антитуундусу √(-\frac{x^3}{3} √) болуп саналат.
√(2x)√) функциясынын антитуундусу √(x^2√) болуп саналат,
\( (1) \) функциясынын антитуундусу \( x \) болуп саналат.
Демек,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Кийинки баалоо:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Ошентип, [0, 1] аралыгындагы y = x² + 1 жана y = 2x + 2 ийри сызыктары менен чектелген аймактын аянты:
\[ \frac{5}{3} \, \text{аянт бирдиги} \]
-
Жогорудагы мисалдардан интегралдарды ийри сызыктын астындагы же эки ийри сызыктын ортосундагы аянтты эсептөө үчүн кантип колдонсо болорун көрө алабыз. Интегралдардын жана антидеривативдик ыкмалардын негизги түшүнүктөрүн туура түшүнүү менен, бул аянттарды эсептөө абдан системалуу жана натыйжалуу болуп калат. Бул макала интегралдарды реалдуу дүйнөдө, айрыкча тегиз беттердин аянтын өлчөө жаатында колдонууну түшүнүүбүздү кеңейтти деп үмүттөнөбүз.
