Физикада интегралдарды колдонууну талкуулоо боюнча мисал суроолор
Физикада интегралдарды колдонуу абдан маанилүү жана кеңири түшүнүк. Интегралдарды колдонуу физиктерге жана инженерлерге кыймыл, энергия, күч же башка аспектилерге байланыштуу ар кандай татаал жаратылыш кубулуштарын эсептөөгө мүмкүндүк берет. Бул макалада бир нече мисал маселелер каралат жана интегралдарды физикада колдонуу талкууланат.
1. Өзгөрмө күч менен жумушту эсептөө
Soal
\(x\) абалына жараша өзгөрүүчү күч \(F(x) = 3x^2 \) менен берилет. Нерсе \(x = 0\)дон \(x = 2 \) метрге жылганда бул күчтүн аткарган жумушун эсептегиле.
Талкуу
Өзгөрүүчү күчтүн аткарган иши аралыктагы күчтүн интегралы болуп саналат. Эгерде \(x\) абалынын функциясы катары \(F(x)\) күчү берилсе, анда биз ишти төмөнкүдөй туюнта алабыз:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Бул учурда:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[a = 0 \, \text{meter} \]
\[ b = 2 \, \текст{метр} \]
Анда жумуш \(W\) төмөнкүдөй болот:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Бул интегралды эсептейбиз:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Джоуль}
\]
Демек, күчтүн аткарган жумушу 8 Джоульга барабар.
2. Бир тектүү таякчанын масса борборун эсептөө
Soal
Узундугу \(L\) болгон бир тектүү таякча x огунда \(x = 0 \)ден \(x = L \)ге чейин жайгашкан. Таякчанын масса борборунун абалын эсептегиле.
Талкуу
Бир тектүү таякча үчүн масса анын узундугу боюнча бирдей бөлүштүрүлөт. Таякчанын туруктуу сызыктуу массасы \(\лямбда\) (узундуктун бирдигине туура келген масса) деп эсептесек болот.
Масса борбору (\(x_{см}\)) төмөнкү формула менен берилет:
\[ x_{см} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Масса бир тектүү бөлүштүрүлгөндүктөн, биз \(dm = \lambda \, dx\) жана \(x = 0\) дан \(x = L\) га чейинки чек ара интегралын төмөнкүдөй туюнта алабыз:
\[
x_{см} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
\(\lambda\) аркылуу интеграция туруктуу жана аны жокко чыгарууга болот:
\[
x_{см} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L}}
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Демек, таякчанын масса борборунун абалы \( \frac{L}{2} \) же таякчанын ортосунда жайгашкан.
3. Кулон законуна негизделген электростатикалык күчтү эсептөө
Soal
Эки заряд (q_1) жана (q_2) x огу боюнча тиешелүү түрдө (x = 0) жана (x = L) маанилеринде жайгашкан. Эки заряддын ортосундагы электростатикалык күчтү эсептегиле.
Талкуу
Кулондун закону боюнча, эки чекиттик заряддын ортосундагы күч заряддардын көбөйтүндүсүнө түз пропорционалдуу жана алардын ортосундагы аралыктын квадратына тескери пропорционалдуу:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Димана:
– \(k_e\) Кулондун туруктуусу \((8.99 \убакыт 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– (r) заряддардын ортосундагы аралык
Бул учурда, \(q_1\) жана \(q_2\) \(x = 0\) жана \(x = L\) чекиттеринде жатат, андан кийин \(r = L\) аралыгы.
Электростатикалык күч бул:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Бул белгилүү бир аралыкта жайгашкан эки чекиттик заряддын ортосундагы электростатикалык күчтү эсептөө үчүн кеңири колдонулган чечим.
4. Магниттик агымды эсептөө
Soal
Радиусу r болгон тегерек зым илмеги илмектин тегиздигине перпендикуляр болгон бир тектүү магнит талаасына r жайгаштырылган. Илмек аркылуу өткөн магнит агымын эсептегиле.
Талкуу
Магнит талаасындагы (А) аянты аркылуу өтүүчү магнит агымы ((Фи_Б)) төмөнкү формула менен аныкталат:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Магнит талаасы \(B\) бирдей жана циклдин тегиздигине перпендикуляр болгондуктан, жөнөкөй интеграл төмөнкүдөй болот:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Радиусу r болгон тегеректин аянты (A) мында:
\[ A = \pi r^2 \]
Анда контур аркылуу өтүүчү магнит агымы:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Демек, цикл аркылуу өтүүчү магнит агымы \(B \pi r^2 \) га барабар.
Корутунду
Физикада интегралдарды колдонуу татаал жаратылыш кубулуштарына байланыштуу маалыматты эсептөөгө туура келгенде сөзсүз болот. Өзгөрмө күчтүн аткарган ишин эсептөөдөн баштап, объекттин масса борборун аныктоодон баштап, Кулон мыйзамына негизделген электростатикалык күчтөрдү эсептөөгө чейин, магнит талаасындагы зым илмеги аркылуу магнит агымын эсептөөгө чейин, баары маселелерди чечүү үчүн интегралдарга таянат. Интегралдардын ар кандай физикалык контексттерде кандайча иштээрин терең түшүнүү маселелерди чечүүнү жөнөкөйлөштүрүү менен бирге, молекулярдык жана галактикалык деңгээлдеги ааламдын механикасын тереңирээк түшүнүүгө мүмкүндүк берет.
