Шарттуу түрдө көз карандысыз кошулма окуялардын ыктымалдуулугу боюнча талкуу суроосунун мисалы
Pendahuluan
Ыктымалдуулук - бул окуянын болуу ыктымалдыгын изилдеген математиканын бир тармагы. Ыктымалдуулук теориясындагы негизги түшүнүктөрдүн бири - бул көз карандысыз же шарттуу деп бөлүүгө боло турган кошулма окуялар. Бул макалада бул түшүнүктөр мисал маселелер жана талкуулар аркылуу терең изилденет.
Кошумча иш-чаралар
Кошулма окуя – бул үлгү мейкиндигинде болуп жаткан эки же андан көп окуянын айкалышы. Кошулма окуялардын эки түрү бар: бири-бирин жокко чыгаруучу окуялар жана шарттуу окуялар.
1. Көз карандысыз окуялар: Эгерде бир окуянын ийгилиги же ийгиликсиздиги экинчисине таасир этпесе, эки окуя көз карандысыз деп аталат. Мисалы, тыйын ыргытуунун жана кумура ыргытуунун жыйынтыгы.
2. Шарттуу окуялар: Шарттуу окуялар бир окуянын ийгилиги же ийгиликсиздиги башка окуянын болуу ыктымалдыгына таасир эткенде пайда болот. Мисалы, эгерде кимдир бирөөнүн ошол ооруга генетикалык жакындыгы болсо, анда ал ооруга чалдыгуу ыктымалдыгы.
Көз карандысыз окуялардын ыктымалдыгы
Эки көз карандысыз А жана В окуяларынын ыктымалдуулугун эсептөө формуласы:
\[ P(A \капкак B) = P(A) \убакыт P(B) \]
Димана:
– \(P(A \cap B)\) – бул А жана В окуяларынын бир убакта пайда болуу ыктымалдыгы.
– \(P(A)\) – бул А окуясынын пайда болуу ыктымалдыгы.
– \(P(B)\) - В окуясынын пайда болуу ыктымалдыгы.
Мисал суроолор жана талкуу: Өз ара көз карандысыз окуялар
1-суроо: Тыйын ыргытылып, алты тараптуу кумура тоголотулду. Тыйынга баштар, ал эми кумурага 4 түшүү ыктымалдыгын аныктаңыз.
Талкуу:
– Тыйындын бетинде сүрөттүн пайда болуу ыктымалдыгы: \( P(G) = \frac{1}{2} \)
– Кубдан 4 санын алуу ыктымалдыгы: \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Тыйын жана кумура эки көз карандысыз окуя болгондуктан, экөөнүн тең бир убакта болуу ыктымалдуулугу төмөнкүдөй:
\[ P(G \cap 4) = P(G) \убакыт P(4) = \frac{1}{2} \убакыт \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \]
Демек, монетага сүрөттүн, ал эми штампка 4түн түшүү ыктымалдыгы \( \frac{1}{12} \) га барабар.
Окуялардын шарттуу ыктымалдуулугу
А жана В эки окуясынын шарттуу ыктымалдуулугу - бул В окуясы болгон учурда А окуясынын пайда болуу ыктымалдуулугу. Шарттуу ыктымалдуулукту эсептөө формуласы төмөнкүчө көрсөтүлгөн:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Димана:
– \( P(A|B) \) - бул В окуясы мурунтан эле болуп өткөн шартта А окуясынын болуу ыктымалдыгы.
– \( P(A \cap B) \) – бул А жана В окуяларынын бир убакта пайда болуу ыктымалдуулугу.
– \( P(B) \) - В окуясынын пайда болуу ыктымалдыгы.
Мисал суроолор жана талкуу: Шарттуу окуялар
2-суроо: 3 кызыл жана 2 көк шар салынган кутучадан эки шар кокусунан бирден алынып, ордуна башка шарлар коюлбайт. Эгерде биринчи шар дагы кызыл болсо, экинчи алынган шардын кызыл болуу ыктымалдыгын тапкыла.
Талкуу:
Мисалы:
– А – биринчи шар кызыл болгон окуя.
– B – экинчи шар кызыл болгон окуя.
Биз \(P(B|A) \) издеп жатабыз. Алгач, \(P(A)\) жана \(P(A \cap B)\) эсептейбиз:
Топтордун жалпы саны = 5 (3 кызыл жана 2 көк).
Кызыл топтун биринчи мүмкүнчүлүгү:
\[
P(A) = \frac{3}{5}
\]
Биринчи кызыл шар алынгандан кийин, калган кызыл шарлардын саны 2ге, ал эми жалпы шарлардын саны 4кө барабар болот.
Биринчи кызыл шар тартылгандан кийин экинчи шардын кызыл болуу ыктымалдыгы:
\[
P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Демек, эгерде биринчи топ дагы кызыл болсо, экинчи топтун кызыл болуу ыктымалдыгы \( \frac{1}{2} \).
Айкалыштыруу боюнча мисал суроолор
Түшүнүгүбүздү тереңдетүү үчүн, биз бир суроодо көз карандысыз жана шарттуу татаал окуяларды бириктире алабыз.
3-суроо: Баштыкта 5 кызыл жана 3 көк шар бар. Эки шар кокусунан ордуна коюлбастан алынган. Биринчи шар кызыл, ал эми экинчи шар көк болуу ыктымалдыгын тапкыла.
Талкуу:
Биз мурункудай эле белгилөөнү колдонобуз:
– А – биринчи шар кызыл болгон окуя.
– B – экинчи шар көк түстө болгон окуя.
Биринчиден, биз ар бир окуянын удаалаш болуу ыктымалдыгын эсептейбиз.
Биринчи шардын кызыл болуу ыктымалдыгы:
\[
P(A) = \frac{5}{8}
\]
Эгерде биринчи топ кызыл болсо, калган кызыл топтордун саны = 4, ал эми калган топтордун жалпы саны = 7.
Биринчи шар кызыл болгондон кийин экинчи шар көк түстө болуу ыктымалдыгы:
\[
P(B|A) = \frac{3}{7}
\]
Ошентип, биринчи шардын кызыл, ал эми экинчи шардын көк болуу ыктымалдыгы бул эки шарттуу ыктымалдуулуктун көбөйтүндүсү болуп саналат:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}
\]
Демек, биринчи шардын кызыл, ал эми экинчи шардын көк болуу ыктымалдыгы \( \frac{15}{56} \).
Корутунду
Ыктымалдуулук теориясында көз карандысыз жана шарттуу окуялардын ортосундагы айырманы түшүнүү татаал окуяларды камтыган маселелерди чечүү үчүн абдан маанилүү. Мисал маселелер аркылуу биз бул эки түшүнүктү камтыган ар кандай сценарийлердин ыктымалдуулуктарын кантип эсептөөнү үйрөнөбүз. Бул түшүнүктөрдү жакшы түшүнүү тобокелдиктерди башкаруу, оюндар жана илимий изилдөөлөр сыяктуу реалдуу дүйнөдөгү кырдаалдарда чечим кабыл алууга жардам берет.
Математиканы күнүмдүк жашоодо колдонуу бул түшүнүктүн адам жашоосунун эң жөнөкөйүнөн эң татаалына чейин ар кандай аспектилери үчүн канчалык маанилүү экенин көрсөтүп турат. Бул негизги түшүнүктөрдү тынымсыз машыгуу жана өздөштүрүү менен, биздин ыктымалдуулук анализи боюнча көндүмдөрүбүз курчуйт.
