Мисал суроолор жана тегерекчелер менен аккорддорду талкуулоо
Тегерек – математикада көп изилденген негизги геометриялык фигуралардын бири. Тегеректерге байланыштуу маанилүү түшүнүктөрдүн бири – бул хорда, ал борбордон өтпөстөн тегеректин эки чекитин туташтырган сызык. Тегеректерди жана хордаларды түшүнүү геометрияны изилдөө үчүн абдан маанилүү. Бул макалада бул түшүнүктөрдү тереңирээк түшүнүү үчүн тегеректерге жана хордаларга байланыштуу бир нече мисал маселелер жана талкуулар талкууланат.
Негизги түшүнүк
Лингкаран
Тегерек – бул тегиздиктеги борбор деп аталган берилген чекиттен бирдей аралыкта жайгашкан бардык чекиттердин жыйындысы. Эгерде тегеректин борбору О чекити жана тегеректин радиусу r болсо, анда тегеректи декарттык формадагы (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² теңдеме менен туюнтса болот.
Жаа сап
Тегеректин ичиндеги хорда - бул тегеректин эки чекитин туташтырган сызык. Хорданын узундугу тегеректин радиусуна гана эмес, ага караган борбордук бурчтун чоңдугуна да жараша болот.
Үлгү суроолор жана талкуу
1-суроо:
Суроо: Радиусу 10 см болгон тегерек жана узундугу 16 см болгон AB хордасы берилген. Айлананын борборунан хордага чейинки эң кыска аралыкты аныктагыла.
Талкуу:
Айлананын борборунан хордага чейинки аралыкты табуу үчүн, радиусу, борбордон хордага чейинки аралык жана хорданын жарымынын ортосунда түзүлгөн тик бурчтуу үч бурчтуктун формуласын колдонсок болот.
Мисалы, О чекити тегеректин борбору, ал эми Р чекити AB хордасынын ортосундагы жана AB хордасына перпендикуляр чекит деп коёлу. Ошентип, OP - О тегеректин борборунан AB хордасына чейинки аралык.
OAP үч бурчтугунда (P чекитиндеги тик бурчтук) Пифагор теоремасын колдонсок болот:
OP² + AP² = OA²
Биз муну билебиз:
– OA (тегеректин радиусу) = 10 см
– AB (жаа жибинин узундугу) = 16 см, ошондуктан AP = 16/2 = 8 см.
Белгилүү маанилерди теңдемеде алмаштырыңыз:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
ОП = 6
Демек, тегеректин борборунан хордага чейинки эң кыска аралык 6 см.
2-суроо:
Суроо: Борбору О болгон тегеректин радиусу 8 см. AB хордасы 120° ∠AOB борбордук бурчту түзөт. AB хордасынын узундугун аныктагыла.
Талкуу:
Борбордук бурчту (θ) түзгөн хорданын узундугун эсептөө үчүн төмөнкү формуланы колдонсок болот:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Кайда:
– r – тегеректин радиусу (бул суроодо 8 см)
– θ – хорда тегеректин борборундагы бурч (бул маселеде 120°)
Белгилүү маанилерди алмаштырыңыз:
AB = 2 × 8 см × sin(120°/2)
AB = 16 см × син(60°)
AB = 16 см × (√3 / 2)
AB = 8√3 см
Демек, AB хордасынын узундугу 8√3 см.
3-суроо:
Суроо: Радиусу 13 см болгон тегерек жана хордасы AB тегеректин борборунан 5 см аралыкта жайгашкан. AB хордасынын узундугун аныктагыла.
Талкуу:
Бул учурда, хорданын узундугун табуу үчүн түзүлгөн тик бурчтуу үч бурчтукту колдонсок болот. Мисалы, О чекити тегеректин борбору, Р чекити борборго эң жакын хордадагы чекит, ал эми AB хорда.
Биз билебиз:
– OA (тегеректин радиусу) = 13 см
– OP (жаа жибинен борбордук аралык) = 5 см.
OAP үч бурчтугунда:
OP² + AP² = OA²
Биз AP (хорданын жарым узундугун) табабыз:
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Демек, AB хордасынын узундугу = 2 × AP = 2 × 12 = 24 см.
4-суроо:
Суроо: Радиусу 10 см болгон тегерек берилген. AB хордасынын узундугу 12 см. Борбордук бурчтун ∠AOB чоңдугун аныктагыла.
Талкуу:
Бул учурда, борбордук бурч ∠AOB аныктоо үчүн тригонометриялык функциянын тескерисин колдонушубуз керек. θ борбордук бурчун камтыган хорданын узундугунун формуласына таянып, θ эсептөө үчүн формуланы кайра жаза алабыз:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Кайда:
– r – тегеректин радиусу (10 см)
– AB – жаанын жибинин узундугу (12 см)
sin(θ/2) функциясын бөлүп алуу үчүн теңдеме түзүңүз:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
күнөө(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
θ/2 маанисин табыңыз:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Ошентип,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Демек, борбордук бурч ∠AOB 73.74°.
Корутунду
Тегерекчелерди жана аккорддорду изилдөө геометриянын жана тригонометриянын негизги түшүнүктөрүн талап кылат. Жогорудагы мисалдарда биз Пифагор теоремасы, тригонометриялык функциялар жана тегерекчелердин негизги касиеттери сыяктуу ар кандай формулаларды жана теоремаларды маселелерди чечүү үчүн кантип колдонууну көрдүк.
Бул практикалык маселелер аркылуу радиус, хорда узундугу жана андан келип чыккан борбордук бурчтун ортосундагы байланышты тереңирээк түшүнүүгө болот деп үмүттөнөбүз. Бул түшүнүктү түшүнүү мектеп математикасында гана эмес, ошондой эле илимдин жана инженериянын ар кандай тармактарындагы күнүмдүк колдонмолордо да пайдалуу.
