Мисал суроолор жана тегерекчелер жана жангенстер жөнүндө талкуу
Тегерекчелер жана тангенстер – математикада, айрыкча орто мектептин деңгээлинде көп талкуулануучу эки тема. Геометрия боюнча билимиңизди тереңдетүү үчүн тангенстер түшүнүгүн жана аларды тегерекчелерге колдонуу абдан маанилүү. Бул макалада окурмандарга тереңирээк түшүнүк берүү үчүн тегерекчелер жана тангенстер боюнча мисал маселелер жана талкуулар берилет.
Тегерекчелер жана жанмалар теориясына киришүү
Лингкаран
Тегерек – бул тегеректин борбору деп аталган белгиленген чекиттен бирдей аралыкта жайгашкан тегиздиктеги чекиттердин жыйындысы. Бул белгиленген аралык тегеректин радиусу деп аталат. Математикалык жактан тегеректи төмөнкү теңдеме менен аныктоого болот:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
мында √(a, b)√) тегеректин борборунун координаттары, ал эми √(r) радиусу.
Тангенс
Тегеректин жануусу – бул тегерекке так бир чекитте тийип турган сызык. Бул чекит жанма чекит деп аталат. Жанманын негизги мүнөздөмөсү – ал тегеректин борборунан жанма чекитке чейин тартылган радиуска перпендикуляр.
Үлгү суроолор жана талкуу
1-суроо: Тангенс сызыгынын теңдемесин аныктоо
Суроо:
Борбору √(2, 3)√) жана радиусу 5 болгон тегерек берилген. √(5, 7)√) координаталары бар √(P√) чекитиндеги тегерекке жанма сызыктын теңдемесин аныктагыла.
Талкуу:
1-кадам: \(P\) чекити чындыгында тегеректин үстүндө экенине ынаныңыз.
\( P (5, 7) \) борбору \( (2, 3) \) жана радиусу \( 5 \) болгон тегеректин үстүндө жайгашкандыгын текшерүү үчүн, \( P \) координаталарын тегеректин теңдемесине койгула:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[9 + 16 = 25 \]
Теңдик туура болгондуктан, \(P\) чекити тегеректин үстүндө жатат.
2-кадам: \( (2, 3) \) жана \( (5, 7) \) аркылуу өтүүчү радиусунун градиентин аныктаңыз:
\[ m_{радиус} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
3-кадам: Радиустун градиентине перпендикуляр болгон жанма сызыктын градиенти (көбөйтүндү градиенти -1):
\[ m_{тангенс} = -\frac{1}{m_{радиус}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
4-кадам: \( P (5, 7) \) чекитин колдонуп, жанма сызыктын теңдемесин аныктаңыз:
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Жөнөкөйлөтүү:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
Ошентип, тангенс сызыгынын теңдемеси төмөнкүдөй болот:
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
2-суроо: Сызык теңдемесинен жануу чекитин аныктоо
Суроо:
\(x^2 + y^2 = 25 \) теңдемеси бар тегерек жана \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) сызыгы берилген. Түз сызык менен тегеректин ортосундагы жанма чекитти аныктаңыз.
Талкуу:
1-кадам: Түз сызыктын теңдемесин тегеректин теңдемесине алмаштырыңыз:
Тегеректин теңдемеси:
\[x^2 + y^2 = 25 \]
Тегерек теңдемесине \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) дегенди коюңуз:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
2-кадам: Теңдемени жөнөкөйлөштүрүңүз:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
3-кадам: Квадраттык формуланы колдонуп, тамырларды табуу:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ а = 25, b = 48, c = -336 \]
\[x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Тангенция чекитине негизделген жарактуу \( x \) тандоо (бир гана \( x \) тангенция чекитин берет):
\[x = \frac{141.501}{50} \болжол менен 2.83 \]
\[ x \болжол менен 2.83 \]
4-кадам: \(x\) маанисин сызыктын теңдемесине коюп, \(y\) маанисин алыңыз:
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \болжол менен 2.12 + 2 \]
\[ y \болжол менен 4.12 \]
Демек, y = y^2 + 2 сызыгы менен y^2 = 25 тегеректин ортосундагы жанма чекит y^2 + y^2 = 25 тегерекчеси болуп саналат.
Корутунду
Тегерекчелер жана тангенстер түшүнүктөрүн өздөштүрүү геометриянын негиздерин түшүнүүнү жана математикалык теңдемелерди колдонуп маселелерди чыгаруу жөндөмүн камтыйт. Жогорудагыдай маселелер студенттерге теорияны конкреттүү кырдаалдарда колдонууга машыгууга жардам берет. Ырааттуу машыгуу менен студенттерден маселелерди оңой түшүнүп, чечүү күтүлөт.
