Функциялардын өсүшү, кемитүү жана стационардык функциялар боюнча мисал суроолор жана талкуу
Математикалык функциялар абдан терең тема болуп саналат жана ар кандай мүнөздөмөлөргө бай, алардын бири - аларды өсүүчү, кемүүчү же стационардык абалдар боюнча кантип талдоо. Функциянын берилген аралыкта өсүүчү, кемүүчү же туруктуу экенин билүү математиканын ар кандай колдонмолорунда, анын ичинде экономика, физика жана инженерияда абдан маанилүү. Бул макалада өсүүчү, кемүүчү жана стационардык функцияларга байланыштуу мисалдар жана алардын талкуусу каралат.
Өсүүчү функциялар, кемүүчү функциялар жана стационардык функциялар деген эмне?
1. Өсүүчү функция: \(f(x) \) функциясы \(x_1 < x_2 \) болгон ар бир \(x_1 \) жана \(x_2 \) үчүн \(x_1) \leq f(x_2) \) болсо, \(f(x_1) \leq f(x_2) \) аралыгында өсүүчү деп айтылат. 2. Кемиүүчү функция: Тескерисинче, \(f(x) \) функциясы \(x_1 < x_2 \) болгон ар бир \(x_1 \) жана \(x_2 \) болгондо \(f(x_1) \geq f(x_2) \) болсо, \(f(x_1) \geq f(x_2) \) аралыгында өсүүчү деп айтылат. 3. Стационардык функция: Эгерде ар бир (x) үчүн (I) функция бирдей мааниге ээ болсо, анда (f(x)) функциясы (I) аралыгында стационардык деп аталат, башкача айтканда, ар бир (x) үчүн (I), мында c - туруктуу. 1-мисал: Өсүүчү функциянын аралыгын аныктоо (f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) функциясы берилген). Функция өсүүчү аралыкты аныктаңыз! Талкуу: Функция өсүүчү аралыкты аныктоо үчүн, функциянын биринчи туундусун таап, андан кийин туундунун белгисин талдашыбыз керек. 1. 1-кадам: Биринчи туундуну табыңыз: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. 2-кадам: Критикалык чекиттерди аныктаңыз: Критикалык чекиттер - бул биринчи туунду нөлгө барабар же аныкталбаган чекиттер. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Бүтүндөй теңдемени 6га бөлүңүз: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Бул квадраттык теңдемени факторлорго бөлөбүз: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Демек, критикалык чекиттер \( x = 2 \) жана \( x = -1 \). 3. 3-кадам: Критикалык чекиттер менен түзүлгөн аралыктагы биринчи туундунун белгисин аныктаңыз: Биз \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) жана \( (2, \infty) \) аралыктарындагы \(f'(x) \) үчүн белги таблицасын түзөбүз. - \(x \in (-\infty, -1) \) үчүн: \(x = -2 \) \[f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] деп алалы. \(f'(-2) > 0 \) болгондуктан, анда \(f(x) \) \( (-\infty, -1) \) аралыгында өсөт.
– \(x \in (-1, 2) \) үчүн: \(x = 0 \) деп алыңыз.
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Анткени \(f'(0) < 0 \), анда \(f(x) \) \(-1, 2) \) аралыгында азаят. - \(x \in (2, \infty) \) үчүн: \(x = 3 \) \[f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] деп алалы, анткени \(f'(3) > 0 \), анда \(f(x) \) \(2, \infty) \) аралыгында азаят.
Демек, \(f(x) \) функциясы \(-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) аралыгында өсүүдө.
2-мисал: Функциянын азайуучу интервалын аныктоо
√(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) функциясы берилген. Функциянын азайган аралыктарын аныктагыла!
Талкуу:
1. 1-кадам: Биринчи туундуну табыңыз:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. 2-кадам: Критикалык чекитти аныктоо:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Ошентип, критикалык чекиттер \(x = 0 \) жана \(x = \frac{3}{2} \).
3. 3-кадам: Интервалдагы биринчи туундунун белгисин аныктаңыз:
– \(x \in (-\infty, 0) \) үчүн: \(x = -1 \) деп алыңыз
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Анткени \(g'(-1) < 0 \), анда \(g(x) \) \( (-\infty, 0) \). аралыгында азаят. - \(x \in (0, \frac{3}{2}) \) үчүн: \(x = 1 \) \[g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] деп алалы. Анткени \(g'(1) < 0 \), анда \(g(x) \) \( (0, \frac{3}{2}) \) аралыгында азаят. - \(x \in (\frac{3}{2}, \infty) \) үчүн: \(x = 2 \) \[g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] деп алалы, анткени \(g'(2) > 0 \), анда \(g(x) \) \( (\frac{3}{2}, \infty) \) аралыгында өсөт.
Демек, \(g(x) \) функциясы \(-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) аралыгында азаят.
3-мисал суроо: Тынчтыктагы функциянын аралыгын аныктоо
\(h(x) = 7 \) функциясы берилгенде, функция стационар болгон аралыктарды аныктагыла!
Талкуу:
, мисалы, h(x) = 7 , , сыяктуу туруктуу функция бардык , x(x) үчүн нөлгө барабар биринчи туундуга ээ:
\[ h'(x) = 0 \]
Биринчи туунду ар дайым нөлгө барабар болгондуктан, функция бүтүндөй доменде стационардуу, ошондуктан \(h(x) = 7 \) функциясы бардык чыныгы сандарда стационар деп айта алабыз, ал интервалдык белгилөөдө \( (-\infty, \infty) \) болот.
Корутунду
Функциянын өсүүчү, кемүүчү жана стационардык абалдарынын интервалдарын түшүнүү функционалдык анализдин маанилүү бөлүгү болуп саналат. Жогорудагы мисалдар аркылуу биз бул интервалдарды табуу үчүн зарыл болгон негизги түшүнүктөрдү жана кадамдарды карап чыктык. Бул билим математиканын ар кандай практикалык жана теориялык колдонмолорунда абдан пайдалуу.
