Инъекциялык, сюръективдик жана биективдик функциялардын мисал суроолору жана талкуусу
Функциянын аныктамасы жана анын математикадагы пайдалуулугу көп учурда кызыктуу талкуу темасы болуп саналат. Бул контекстте биз инъекциялык, сюръективдик жана биъективдик функциялар сыяктуу терминдерди көп кездештиребиз. Бул үч түрдөгү функцияларды түшүнүү математикалык анализ жана алардын информатика, экономика жана физика сыяктуу ар кандай тармактардагы практикалык колдонулушу үчүн абдан маанилүү.
Инъекциялык, сюръективдик жана биективдик функцияларды түшүнүү
Мисал суроолорду жана аларды талкуулоодон мурун, алгач үч функциянын аныктамаларын эстейли.
1. Инъекциялык функция (Бирге-бир функция): f : A → B функциясы А домениндеги ар бир a1 жана a2 үчүн, эгерде f(a1) = f(a2) болсо, анда a1 a2ге барабар болушу керек болсо, инъекциялык деп аталат. Башкача айтканда, инъекциялык функция А домениндеги ар башка элементтердин В коддомениндеги ар башка элементтерге чагылдырылышын камсыздайт.
2. Суъективдүү функция (функцияга карата): Эгерде В кодомеиндеги ар бир элементтин А доменинде ага байланышкан жок дегенде бир элементи болсо, f : A → B функциясы съъективдүү деп аталат. Бул учурда, В кодомеинин А доменинен "бош" элементтери же аналогдору жок.
3. Бижективдик функция (Бир-бир дал келүү): f : A → B функциясы инъекциялык жана суръективдик болсо, ал бижективдик деп аталат. Бул А домениндеги ар бир элементтин В кодомеинде уникалдуу аналогу бар экенин жана В кодомеиндеги ар бир элементтин А доменинде да уникалдуу аналогу бар экенин билдирет.
Үлгү суроолор жана талкуулар
1-суроо: Инъекциялык функция
Суроо:
f(x) = 2x + 3 деп аныкталган f: ℝ → ℝ функциясы берилген. Бул функция инъекциялык функция экенин далилдегиле.
Талкуу:
Бул функциянын инъекциялык экенин далилдөө үчүн, эгерде f(a) = f(b) болсо, анда a = b экенин көрсөтүшүбүз керек.
Мисалы, f(a) = f(b), анда биз мындай деп айтабыз:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Эки жагынан тең 3тү кемитип,
\[ 2a = 2b \]
Эки жагынан тең 2ге бөлүңүз:
\[ а = b \]
f(a) = f(b) функциясы a = b пайда кылаарын көрсөткөндүктөн, анда f(x) = 2x + 3 функциясы инъекциялык функция болуп саналат.
2-суроо: Субъективдик функция
Суроо:
g(x) = x^3 катары аныкталган g: ℝ → ℝ функциясы берилген. Бул функциянын сюръективдик функция экенин далилдегиле.
Талкуу:
Бул функциянын сюръективдүү экенин далилдөө үчүн, ℝ коддомениндеги ар бир y элементи үчүн ℝ доменинде g(x) = y болгондой жок дегенде бир x элементи бар экенин көрсөтүшүбүз керек.
y ∈ ℝ болсун. Биз xти төмөнкүдөй табууну каалайбыз:
\[ x^3 = y \]
Алсак, \(x = \sqrt[3]{y} \):
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
ℝ коддомениндеги ар бир y үчүн \(x = \sqrt[3]{y} \) болгон xти таба алгандыктан, анда g(x) = x^3 функциясы сюръективдик функция болуп саналат.
3-суроо: Бижективдик функциялар
Суроо:
h(x) = x – 1 деп аныкталган h: ℝ → ℝ функциясы берилген. Бул функциянын бижективдүү экенин далилдегиле.
Талкуу:
Инъекция:
h(x) инъекциялык экенин далилдөө үчүн, эгерде h(a) = h(b) болсо, анда a = b экенин көрсөтүшүбүз керек.
h(a) = h(b) болсун:
\[ а – 1 = b – 1 \]
Эки жагына тең 1ди кошуңуз:
\[ а = b \]
h(a) = h(b) функциясы a = b себеби болгондуктан, анда h(x) = x – 1 функциясы инъекциялык функция болуп саналат.
Субъективдүү:
h(x) сюръективдүү экенин далилдөө үчүн, ℝ коддомениндеги ар бир y элементи үчүн ℝ доменинде h(x) = y болгондой жок дегенде бир x элементи бар экенин көрсөтүшүбүз керек.
y ∈ ℝ болсун. Биз xти төмөнкүдөй табууну каалайбыз:
\[ x – 1 = y \]
Эки жагына тең 1ди кошуңуз:
\[x = y + 1 \]
ℝ коддомениндеги ар бир y үчүн x = y + 1 болгондой x таба алгандыктан, анда h(x) = x – 1 функциясы сюръективдик функция болуп саналат.
h(x) инъекциялык жана суръективдик болгондуктан, анда h(x) биъективдик функция болуп саналат.
4-суроо: Функциянын түрүн аныктоо
Суроо:
f(x) = 2x катары аныкталган ℕ → ℕ функциясы берилген. f инъекциялык, сюръективдик же биъективдик функция экенин аныктагыла.
Талкуу:
Инъекция:
Бул функциянын инъекциялык экенин далилдөө үчүн, эгерде f(a) = f(b) болсо, анда a = b экенин көрсөтүшүбүз керек.
Мисалы, f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Эки жагынан тең 2ге бөлүңүз:
\[ а = b \]
Ошондуктан, f(x) = 2x инъекциялык функция болуп саналат.
Субъективдүү:
Бул функциянын сюръективдүү экенин далилдөө үчүн, ℕ коддомениндеги ар бир y элементи үчүн ℕ доменинде f(x) = y болгондой жок дегенде бир x элементи бар экенин көрсөтүшүбүз керек.
Бирок кодомеин ℕ (натуралдык сандар) экенин, ал эми f(x) = 2x жуп сандарды гана берерин эске алыңыз. Мисалы, y так сан болсо, ℕде 2x = y болгондой x жок.
Ошондуктан, f(x) = 2x сюръективдик функция эмес.
f(x) сюръективдүү болбогондуктан, анда f(x) да биъективдүү эмес.
Жогорудагы ар кандай мисалдардын негизинде, биз ар кандай функциялардын аныктамаларынан функциялардын түрлөрүн (инъекциялык, сюръективдик, биъективдик) кантип далилдөөнү жана аныктоону көрө алабыз. Бул функцияларды түшүнүү математиканын жана анын реалдуу жашоодогу колдонулушунун көптөгөн аспектилеринде абдан маанилүү.
