Полиномдордун факторлорун жана нөлдүк генераторлорун талкуулоо боюнча мисал суроолор
Полиномдун бөлгүчтөрүн жана нөлдөрүн түшүнүү алгебра жана математиканын маанилүү пайдубалы болуп саналат. Бул макалада биз полиномдун бөлгүчтөрүн жана нөлдөрүн кантип табууну кеңири мисалдар жана талкуулар аркылуу талкуулайбыз. Биз бул процесстин кадамдарын карап чыгып, бул нөлдөрдүн жана бөлгүчтөрдүн математикалык маанилерин түшүнөбүз.
Полиномдордун факторлоруна жана нөлдүк генераторлоруна киришүү
Полином – бул кошуу, кемитүү жана көбөйтүү амалдары менен байланышкан өзгөрмөлөрдөн жана коэффициенттерден турган математикалык туюнтма. Полиномдун жалпы формасы:
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0 \]
Полиномдун факторлору – бул баштапкы полиномду алуу үчүн көбөйтүүгө боло турган башка полиномдук туюнтмалар, ал эми полиномдун нөлдөрү (же тамырлары) – бул xтин маанилери, алар \(P(x) = 0 \) түзөт.
1-мисал: Жөнөкөй көп мүчөнүн нөлдөрүн табуу
Суроо: \( P(x) = x^2 – 5x + 6 \) көп мүчөнүн нөлдөрүн тапкыла.
Талкуу:
Бул көп мүчөнүн нөлдөрүн табуу үчүн, көп мүчөнү нөлгө барабар кылган x маанилерин табышыбыз керек. Башкача айтканда, биз төмөнкү теңдемени чыгарышыбыз керек:
\[ x^2 – 5x + 6 = 0 \]
Биринчи кадам - көп мүчөнү факторизациялоого аракет кылуу. Көбөйтүндүсү +6 жана суммасы -5 болгон эки санды карап көрөлү. Бул сандар -2 жана -3. Ошондуктан, көп мүчөнү төмөнкүдөй факторизациялоого болот:
\[ (x – 2)(x – 3) = 0 \]
Эми биз нөлдүк көбөйтүү принцибин колдонобуз:
\[ (x – 2) = 0 \]
же
\[ (x – 3) = 0 \]
Ошентип, биз алабыз:
\[ x = 2 \]
дан
\[ x = 3 \]
Ошондуктан, \(P(x) = x^2 – 5x + 6 \) көп мүчөнүн нөлдөрү \(x = 2 \) жана \(x = 3 \) болуп саналат.
2-мисал: Татаалыраак полиномдорду факторизациялоо
Суроо: \( P(x) = 2x^3 – 3x^2 – 8x + 12 \) көп мүчөнүн бөлгүчтөрү кайсылар?
Талкуу:
Бул полиномду факторизациялоо үчүн синтетикалык факторизациялоо ыкмасын же фактор теоремасын колдонсок болот.
Биринчи кадам - көп мүчөнүн бир нөлүн табууга аракет кылуу. Факторлор теоремасына таянып, x = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 жана башка мүмкүн болгон маанилерди колдонуп көрсөк болот. Келгиле, x = 2 деп аракет кылып көрөлү:
\[ P(2) = 2(2)^3 – 3(2)^2 – 8(2) + 12 \]
\[ = 2(8) – 3(4) – 16 + 12 \]
\[ = 16 – 12 – 16 + 12 = 0 \]
P(2) = 0 болгондуктан, \(x = 2 \) көп мүчөнүн нөлү болуп саналат. Эми башка факторлорду табуу үчүн көп мүчөнү \(x – 2 \) га бөлсөк болот.
Полиномдук бөлүүнү колдонуу:
\[ (2x^3 – 3x^2 – 8x + 12) \div (x – 2) \]
Кадамдар төмөнкүдөй:
1. 2x^2 алуу үчүн 2x^3 санын xке бөлүңүз.
2. 2x^2 санын (x – 2) санына көбөйтүп, 2x^3 – 4x^2 санын алабыз.
3. x^2 – 8x + 12 алуу үчүн көп мүчөнүн бул бөлүгүн баштапкы көп мүчөдөн кемитиңиз.
4. x алуу үчүн x^2ни xке бөлүңүз.
5. x^2 – 2x алуу үчүн xти (x – 2) га көбөйтүңүз.
6. Муну калдыктан кемитип, -6x + 12 алыңыз.
7. -6 санын алуу үчүн -6x санын x санына бөлүңүз.
8. -6x + 12 алуу үчүн -6 санын (x – 2) көбөйтүңүз.
9. 0 калдык алуу үчүн муну калдыктан кемитиңиз.
Ошентип, ал үчүн натыйжа төмөнкүдөй:
\[ 2x^2 + x – 6 \]
Эми биз \(2x^2 + x – 6 \) көбөйтүүчүлөргө бөлүшүбүз керек. Ал үчүн биз көбөйтүндүсү \(2 \times -6 = -12 \) жана суммасы 1ге барабар болгон эки санды табабыз. Бул сандар 4 жана -3.
Полиномду төмөнкүдөй кайра жаза алабыз:
\[ 2x^2 + 4x – 3x – 6 \]
Андан кийин аларды топторго бөлөбүз:
\[ 2x(x + 2) – 3(x + 2) \]
Ошентип, биз төмөнкү факторлорду алабыз:
\[ (x + 2)(2x – 3) \]
Ошентип, \(2x^3 – 3x^2 – 8x + 12 \) көп мүчөнүн бөлгүчтөрү:
\[ (x – 2)(x + 2)(2x – 3) \]
3-мисал: Жогорку даражадагы полиномдордун нөлдүк генератору
Суроо: \( P(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 4 \) көп мүчөнүн бардык нөлдөрүн тапкыла.
Талкуу:
Мындай жогорку даражадагы көп мүчөнүн нөлдөрүн табуу үчүн, кээде квадрат тамыр же алмаштыруу сыяктуу ыкмаларды колдонсок болот, бул ишти жеңилдетет. Келгиле, тамырларын табууга аракет кылалы:
Бул көп мүчөнүн √(x – 2)√) кемчиликсиз квадраты экенин көрүп турабыз:
\[ (x – 2)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \]
Ошентип, биз n = 4 жана a = 2 болгон \( (x – a)^n \) дан табабыз:
Же болбосо, жөнөкөйлөштүрүүнү жасап, x = 1 же 2 болгон x өзгөрмөсүнүн вариантын эсептеп көрүңүз, анткени биз эсептөөнү жөнөкөйлөтүүгө аракет кылабыз.
\[ бул (x – 1)^3 = x^3 -3x^2 + 3x – 1 \] болуп калат
Болду, натыйжа ар бир жолу алмаштырылганда, калганы 0гө барабар болот же болбойт.
Полином \(, бул жөн гана (x^2 + x)^n / жалпы туруктуу өзгөрмө катышын чыгаруу дегенди билдирет
Кесимпулан:
Жогорудагы мисалдар жөнөкөй жана татаалыраак полиномдордун факторлорун жана нөлдөрүн табуу кадамдарын көрсөтөт. Полиномдордун нөлдөрүн полиномду факторизациялоо же башка сандык жана аналитикалык ыкмаларды колдонуу менен табууга болот. Полиномдун факторлору полиномду сызыктуу көбөйтүүгө жана төмөнкү даражадагы полином мүчөсүнө ажыратуунун натыйжасы болуп саналат. Бул түшүнүк жана жөндөм алдыңкы математикалык анализ жана физика, инженерия жана экономика сыяктуу ар кандай практикалык колдонмолор үчүн абдан маанилүү.
