Математикалык дилатация боюнча талкуу суроолорунун мисалы
Дилатация же чоңойтуу жана кичирейтүү менен коштолгон трансформация трансформация геометриясындагы маанилүү түшүнүк болуп саналат. Бул түшүнүк көп учурда ар кандай контексттерде, мисалы, үлгүлөрдү, симметрияны изилдөөдө жана башка көптөгөн реалдуу жашоодогу колдонмолордо кездешет. Бул макалада математикадагы дилатация түшүнүгү талкууланып, бир нече мисал маселелер жана чечимдер келтирилет.
Дилатация деген эмне?
Дилатация – бул фигураны белгилүү бир масштаб коэффициентине чоңойтууну же кичирейтүүнү камтыган геометриялык трансформация. Дилатацияда геометриялык фигуранын чекити ошол эле коэффициентке дилатациянын борбордук чекитинен алыстайт же жакындайт. Дилатация чоңойтушу (масштаб коэффициенти > 1), кичирейтиши (0 < масштаб коэффициенти < 1) же масштаб коэффициенти терс болсо, фигураны чагылдырышы мүмкүн. Дилатациядагы белгилер Дилатацияны аткарууда көп колдонулган кээ бир белгилер төмөнкүлөрдү камтыйт: - Дилатация борбору (P): Дилатация процессинде шилтеме катары колдонулган туруктуу чекит. - Масштаб коэффициенти (k): Канчалык чоңойтуу же кичирейтүү болорун аныктоочу узундуктардын катышы. Эгерде \( k > 1 \) болсо, объект чоңойтулат. Эгерде \( 0 < k < 1 \) болсо, объект кичирейтилет.
Мисалы, координаталары (x, y) болгон А чекити масштаб коэффициенти k жана кеңейүү борбору O (0,0) менен A' чекитине чейин кеңейген деп коёлу, анда A' координаталары (kx, ky) болот. Дилляция формуласы Чекиттин кеңейген натыйжасынын жаңы координаталарын табуу үчүн колдонулган формула: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] мында (x, y) чекиттин баштапкы координаталары, ал эми k масштаб коэффициенти. Мисал суроолор жана талкуу Мисал суроо 1 А чекити (2, 3) масштаб коэффициенти 2 менен кеңейген жана кеңейүү борбору O (0, 0) чекитинде жайгашкан. Дилляциядан кийинки А чекитинин координаталарын аныктагыла. Талкуу: А чекитинин координаталары (2, 3), масштаб коэффициенти k = 2 жана кеңейүү борбору O (0, 0) чекити. Дилатация формуласына ылайык: \[A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Демек, А чекитинин дилатациядан кийинки координаттары (4, 6) болот. 2-суроо. В чекити (-1, 4) масштаб коэффициенти 0,5 менен дилатацияланган жана дилатация борбору O (0, 0) чекитинде жайгашкан. Дилатациядан кийинки В чекитинин координаттарын аныктаңыз. Чечим: В чекитинин координаттары (-1, 4), масштаб коэффициенти k = 0,5 жана дилатация борбору O чекити (0, 0). Дилатация формуласына ылайык: \[B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Демек, кеңейүүдөн кийинки В чекитинин координаталары (-0,5, 2). 3-мисал Суроо С (3, -2) чекити -1 масштаб коэффициенти менен кеңейген жана кеңейүү борбору O (0, 0) чекитинде жайгашкан. Кеңейүүдөн кийинки С чекитинин координаталарын аныктагыла. Чечим: С чекитинин координаталары (3, -2), масштаб коэффициенти k = -1 жана кеңейүү борбору O (0, 0) чекитинде жайгашкан. Кеңейүү формуласына ылайык: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Демек, кеңейүүдөн кийинки С чекитинин координаталары (-3, 2). 4-мисал Суроо D (2, 5) чекити 3 масштаб коэффициенти менен кеңейген жана кеңейүү борбору P (1, 1) чекитинде жайгашкан. Кеңейүүдөн кийинки D чекитинин координаталарын аныктагыла. Талкуу: D чекитинин координаттары (2, 5), масштаб коэффициенти k = 3, ал эми кеңейүү борбору P чекити (1, 1). Алгач, D чекитин P (1, 1) кеңейүү борборунун координаттар системасына жылдырабыз: D чекитинин Pге салыштырмалуу координаттары: \[D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] D_r чекитинде масштаб коэффициенти k менен кеңейүүнү аткарыңыз: \[D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Акырында, D_r' чекитин баштапкы координаттар системасына кайтарабыз: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Демек, D чекитинин кеңейүүдөн кийинки координаттары (4, 13). 5-суроо боюнча мисал. E чекити (-2, -3) масштаб коэффициенти 0,25 менен кеңейет жана кеңейүүнүн борбору P (-1, -1) чекитинде жайгашкан. Кеңейүүдөн кийинки E чекитинин координаттарын аныктагыла. Чечим: E чекитинин координаттары (-2, -3), масштаб коэффициенти k = 0,25 жана кеңейүүнүн борбору P (-1, -1) чекити. Алгач, биз E чекитин кеңейүү борборунун координаттар системасына (P (-1, -1) жылдырабыз: E чекитинин Pге салыштырмалуу координаттары: \[E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] E_r чекитинде масштаб коэффициенти k менен кеңейүүнү аткарабыз: \[E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Акырында, биз E_r' чекитин баштапкы координаттар системасына кайтарабыз: \[E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Ошентип, E чекитинин кеңейүүдөн кийинки координаттары (-1,25, -1,5) болот. Корутунду: Дилатация – бул геометриялык фигураны белгилүү бир масштаб коэффициентине чоңойтуучу же кичирейтүүчү геометриялык трансформация. Дилатация түшүнүгүн жана аны колдонууну түшүнүү ар кандай изилдөө тармактарында, айрыкча геометрияда абдан пайдалуу. Мисалдар жана талкуулар менен бул студенттерге жана окурмандарга дилатация түшүнүгүн ар кандай математикалык кырдаалдарда жакшыраак түшүнүүгө жана колдонууга жардам берет деп үмүттөнөбүз.