Удаалаштыктарды жана катарларды талкуулоо боюнча мисал суроолор
Удаалаштыктар жана катарлар математикадагы негизги түшүнүктөр болуп саналат жана башталгыч класстан баштап колледжге чейин көп кездешет. Удаалаштык - бул белгилүү бир эрежеге ылайык жайгаштырылган сандардын жыйындысы, ал эми катар - бул ошол удаалаштыктын мүчөлөрүнүн суммасы. Бул макалада биз бир нече мисал маселелерди талкуулайбыз жана удаалаштыктар менен катарларды талкуулайбыз.
1-мисал: Арифметикалык ырааттуулук
Суроо:
Биринчи мүчөсү (a) = 3 жана айырмасы (d) = 5 болгон арифметикалык ырааттуулук берилген. Аныктагыла:
1. Тизмедеги онунчу мүчө.
2. Тизмедеги алгачкы 20 мүчөнүн суммасы.
Талкуу:
1. 10-чейрек
Арифметикалык удаалаштыктын n-чи мүчөсүнүн формуласы:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
10-чейрек үчүн (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Алгачкы 20 мүчөнүн суммасы
Арифметикалык ырааттуулуктун биринчи n мүчөсүнүн суммасынын (S_n) формуласы:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Алгачкы 20 мүчөнүн суммасы үчүн (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
2-мисал: Геометриялык катарлар
Суроо:
Биринчи мүчөсү (a) = 4 жана катышы (r) = 2 болгон геометриялык ырааттуулук берилген. Аныктагыла:
1. Тизмедеги онунчу мүчө.
2. Тизмедеги алгачкы 8 мүчөнүн суммасы.
Талкуу:
1. 6-чейрек
Геометриялык удаалаштыктын n-чи мүчөсүнүн формуласы:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
6-чейрек үчүн (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Алгачкы 8 мүчөнүн суммасы
Геометриялык ырааттуулуктун биринчи n мүчөсүнүн суммасынын (S_n) формуласы:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Алгачкы 8 мүчөнүн суммасы үчүн (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
3-мисал: Конвергенттик геометриялык чексиз катарлар
Суроо:
Биринчи мүчөсү (a) = 1 жана катышы (r) = 1/2 болгон геометриялык катар берилген. Чексиз катардын суммасын аныктагыла.
Талкуу:
Жыйналуучу геометриялык катардын чексиз катарынын суммасынын (S_∞) формуласы:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Ошентип, бул серия үчүн:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
4-мисал: Квадраттык сандардын удаалаштыктары жана катары
Суроо:
Биринчи мүчөсү (U_1) = 1, экинчи мүчөсү (U_2) = 4 жана үчүнчү мүчөсү (U_3) = 9 болгон квадрат сандардын ырааттуулугу берилген. Ырааттуулуктун 5-мүчөсүн аныктагыла. Бул ырааттуулук арифметикалык же геометриялык ырааттуулукпу? Түшүндүргүлө.
Талкуу:
1. 5-чейрек
Квадраттык сандардын ырааттуулугунун схемасы төмөнкүдөй:
\[
U_n = n^2
\]
5-чейрек үчүн (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Сызыктын түрү
Бул ырааттуулук арифметикалык же геометриялык экенин текшерүү үчүн, мүчөлөрдүн ортосундагы айырманы (жалпы айырма) жана мүчөлөрдүн ортосундагы катышты текшериңиз:
– Терминдердин ортосундагы айырма (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Айырма туруктуу болбогондуктан, бул ырааттуулук арифметикалык эмес.
– Уруулар аралык катыш (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Мүчөлөрдүн ортосундагы катыш туруктуу болбогондуктан, бул ырааттуулук геометриялык эмес.
Демек, квадрат сандардын бул ырааттуулугу арифметикалык да, геометриялык да эмес, тескерисинче, квадрат сандардын үлгүсүн ээрчиген атайын ырааттуулук.
5-мисал: Чексиз арифметикалык катар
Суроо:
Чексиз арифметикалык катардын суммасын эсептөөгө болобу? Эгер ошондой болсо, мисал келтириңиз. Эгер жок болсо, эмне үчүн экенин түшүндүрүңүз.
Талкуу:
Геометриялык катарлардан айырмаланып, чексиз арифметикалык катарлардын, адатта, чектүү суммасы болбойт. Себеби ар бир мүчө сызыктуу түрдө көбөйөт же азаят, ошондуктан сумма чексиз өсө берет.
Мисалы, биринчи мүчөсү 1 жана жалпы айырмасы 1 болгон чексиз арифметикалык катарды карап көрөлү:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Эгерде биз аларды кошууга аракет кылсак, анда катар туруктуу мааниге жакындабай турганы, тескерисинче, чексиздикке жакындай турганы айкын болот. Ошондуктан, чексиз арифметикалык катардын суммасы, жалпысынан алганда, чексиз жана аны конвергенттик геометриялык катар сыяктуу эсептөөгө болбойт.
-
Бул макалада биз бир нече мисал маселелерди карап чыгып, удаалаштыктарды жана катарларды талкууладык. Биз арифметикалык жана геометриялык удаалаштыктарды карап чыктык, n-мүчөнү жана алардын биринчи мүчөлөрүнүн суммасын кантип эсептөөнү көрдүк жана чексиз катарлар жөнүндөгү суроолорго жооп бердик. Бул негизги түшүнүктөрдү жана мисалдарды түшүнүү менен, математикадагы удаалаштыктарга жана катарларга жакындаганда өзүңүзгө ишенимдүүрөөк болосуз деп үмүттөнөбүз.
