Боштуктарды толтуруу эрежелерин талкуулоо боюнча мисал суроолор
Орунду толтуруу эрежеси же жайгаштыруу эрежеси математика жана ыктымалдуулук теориясындагы көптөгөн кырдаалдарда абдан пайдалуу болгон негизги түшүнүк. Бул эреже, адатта, объектилерди белгилүү бир тартипте же ар кандай жайгаштырууларда жайгаштыруу контекстинде колдонулат. Бул макалада биз орунду толтуруу эрежесине байланыштуу бир нече мисал маселелерди талкуулайбыз жана ар бири үчүн деталдуу чечимдерди беребиз.
Pendahuluan
Орун толтуруу - бул комбинаторикада колдонулган кеңири таралган ыкма, ал математиканын бир тармагы болуп саналат, ал объектилердин жайгашуусун, айкалышын жана тандалышын изилдейт. Комбинаториканын негизги принциптеринин бири - көбөйтүү эрежеси, анда эгерде процессте бир нече этаптар болсо жана ар бир этапта белгилүү бир сандагы тандоолор болсо, анда мүмкүн болгон макулдашуулардын жалпы санын ар бир этаптагы тандоолордун санын көбөйтүү менен табууга болот деп айтылат.
Мисалы, эгерде биринчи этапта m тандоолору, ал эми экинчи этапта n тандоолору бар эки этап болсо, анда мүмкүн болгон макулдашуулардын жалпы саны m n менен көбөйөт.
Келгиле, бул түшүнүктү кээ бир мисал маселелерди чечүү үчүн колдонолу.
1-мисал: Текчеге китептерди тизүү
Суроо:
5 башка китеп жана 5 орундуу китеп текчеси бар. Беш китепти текчеге канча жол менен жайгаштырса болот?
Талкуу:
Бул учурда, биз беш китепти беш башка мейкиндикке жайгаштырышыбыз керек. Бул пермутация маселеси, анткени тартип абдан маанилүү. Бул маселени чечүү үчүн биз мейкиндикти толтуруу эрежесин же көбөйтүү эрежесин колдонсок болот.
1. Биринчи бөлмө үчүн бизде 5 китеп тандоо мүмкүнчүлүгү бар.
2. Биринчи бөлмөгө бир китеп коюлгандан кийин, экинчи бөлмө үчүн 4 китеп тандоо калды.
3. Үчүнчү бөлмө үчүн бизде калган 3 китеп тандоосу бар жана башкалар.
Жалпы орнотуулардын санынын теңдемеси:
\[ 5 \убакыт 4 \убакыт 3 \убакыт 2 \убакыт 1 = 5! = 120 \]
Ошентип, беш китепти иретке келтирүүнүн 120 жолу бар.
2-мисал: Ар кандай тамгалардан сөз жасоо
Суроо:
"МАТЕМАТИКА" сөзүндөгү бардык тамгаларды кайталабай колдонуп, канча ар кандай сөз түзүүгө болот?
Талкуу:
Алгач "МАТЕМАТИКА" сөзүндө канча тамга бар экенин карап чыгышыбыз керек. 11 тамга бар, алардын айрымдары кайталанат. Кайталанган тамгалар:
– M, 2ге чейин
– 3кө чейин
– T 2ге чейин
– Калган тамгалар (E, I, K) бирден пайда болот.
Кайталануучу элементтер үчүн биз пермутация формуласын колдонобуз, атап айтканда:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
мында \(n\) - элементтердин (тамгалардын) жалпы саны жана \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) - ар бир өзүнчө элементтин кайталануу саны.
"МАТЕМАТИКА" деген сөз менен:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Ошентип, түзүлүшү мүмкүн болгон сөздөрдүн саны:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
1 663 200 ар кандай сөздү түзүүгө болот.
3-мисал: Мартабактагы айкалыштардын санын аныктоо
Суроо:
Мартабак сатуучу беш түрдүү толтурууну сунуштайт (сыр, шоколад, жер жаңгак, банан жана мейиз). Эгерде кардар мартабак үчүн беш толтуруунун үчөөнү тандагысы келсе, канча түрдүү айкалышты тандай алат?
Талкуу:
Бул пермутация эмес, айкалыштыруу маселеси, анткени тартип маанилүү эмес. Биз айкалыштыруу формуласын колдонобуз:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
мында \(n\) - тандоолордун жалпы саны, ал эми \(k\) - кабыл алынган тандоолордун саны.
Бул учурда, \(n = 5 \) жана \(k = 3 \), ошондуктан:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \убакыт 2!} = \frac{120}{6 \убакыт 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
5 варианттан 3 мазмунду тандоо үчүн 10 ар кандай айкалыш бар.
4-мисал: Беттештеги катышуучунун жайгашуусу
Суроо:
Чуркоо жарышына 8 катышуучу катышат. Алдыңкы 3 катышуучуну канча жол менен жайгаштырса болот?
Талкуу:
Бул кайталоосуз пермутация маселеси, анткени позиция тартиптин маанилүүлүгүн билдирет. Биз пермутация формуласын колдонобуз:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Бул учурда, \(n = 8 \) жана \(k = 3 \), анда:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Ошентип, 8 катышуучунун алдыңкы үч позициясын ээлөөнүн 336 жолу бар.
Бул макалада биз ар кандай кырдаалдарда орун толтуруу эрежелерин колдонуу менен бир нече мисал маселелерди жана алардын чечимдерин талкууладык: китептерди текчеге тизүүдөн тартып, мелдештин жеңүүчүсүн аныктоого чейин. Бул негизги түшүнүктөрдү түшүнүү сизге туш болушуңуз мүмкүн болгон ар кандай комбинаторикаларды жана ыктымалдуулук маселелерин чечүүдө көбүрөөк ишеним берет.
