회전 운동 – 문제점 및 해결책

회전 운동 – 문제점 및 해결책

토크

1. 길이가 140cm인 빔이 있습니다. 빔에는 F₁ = 20N, F₂ = 10N, F₃ = 40N의 세 힘이 작용하며 _, 각 _힘 의 _방향 과 위치는 아래 그림과 같습니다. 빔의 질량 중심을 기준으로 빔을 회전시키는 토크는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

무게중심은 빔의 중앙에 위치합니다.

보의 길이(l) = 140cm = 1.4미터

힘 1(F ₁ ) = 20 N, 레버 암 1(l ₁ ) = 70 cm = 0.7 미터

힘 2 (F ₂ ) = 10 N, 레버 암 2 (l ₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 미터

힘 3(F ₃ ) = 40 N, 레버 암 3(l ₃ ) = 70 cm = 0.7 미터

구하는 것: 토크의 크기

솔루션 :

토크 1은 빔을 시계 방향으로 회전시키므로 토크 1에 음의 부호를 부여합니다.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

토크 2는 빔을 시계 반대 방향으로 회전시키므로 토크 2에 양의 부호를 부여합니다.

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

토크 3은 빔을 시계 방향으로 회전시키므로 토크 3에 양의 부호를 부여합니다.

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

순 토크:

Στ = -14Nm + 3Nm – 28Nm = – 42Nm + 3Nm = -39Nm

토크의 크기는 39 N·m입니다. 빔의 회전 방향이 시계 방향이므로 음의 부호가 부여됩니다.

2. 점 D에서의 회전축에 작용하는 알짜 토크는 얼마입니까? (sin 53 ^° = 0.8°)

알려진 바에 따르면:

점 D에서의 회전축

F ₁ = 10 N 및 l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 미터

F ₂ = 10√2 N 및 l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 미터

F ₃ = 20 N 및 l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 미터

구하는 것: 순 토크

솔루션 :

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(토크 1은 빔을 시계 반대 방향으로 회전시키므로 토크 1에 양의 부호를 부여합니다.)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(토크 2는 빔을 시계 방향으로 회전시키므로 토크 2에 음의 부호를 부여합니다.)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(토크 3은 빔을 시계 반대 방향으로 회전시키므로 토크 3에 양의 부호를 부여합니다.)

순 토크:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. 점 D에서의 회전축이 (sin 53 ^° = 0.8°) 일 때 알짜 토크는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

점 D에서의 회전축.

_F1 과 회전축 사이의 거리 ( _rAD ) = 40cm = 0.4m

점 F ₂ 와 회전축 사이의 거리(r _BD ) = 20cm = 0.2m

_F3 와 회전축 사이의 거리 ( _rCD ) = 10cm = 0.1m

F ₁ = 10 뉴턴

F ₂ = 10√2 뉴턴

F3 = ₂₀ 뉴턴

Sin 53 ^o = 0.8

구하는 것: 순 토크

솔루션 :

힘의 순간 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(토크 1은 빔을 시계 반대 방향으로 회전시키므로 토크 1에 양의 부호를 부여합니다.)

힘의 순간 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(토크 2는 빔을 시계 방향으로 회전시키므로 토크 2에 음의 부호를 부여합니다.)

힘의 순간 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(토크 2은 빔을 시계 반대 방향으로 회전시키므로 토크 3에 양의 부호를 부여합니다.)

순 토크:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 뉴턴 미터

관성 모멘트

4. 전선의 길이 = 12m, l1 ₌ 4m. 전선의 질량은 무시합니다. 이 시스템의 관성 모멘트는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

A의 질량 (m _A ) = 0.2 kg

B의 질량(mB ₎ = 0.6kg

점 A와 회전축 사이의 거리(rA ₎ = 4미터

점 B와 회전축 사이의 거리(rB ₎ = 12 – 4 = 8미터

구하는 값: 시스템의 관성 모멘트

솔루션 :

A의 관성 모멘트

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

B의 관성 모멘트

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

시스템의 관성 모멘트:

나는 = 나는 _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6kg·m ²

회전 역학

5. 질량 M = 5 kg, 반지름 R = 20 cm인 도르래에 감긴 줄에 6 N의 힘이 작용합니다. 도르래의 각가속도는 얼마입니까? 도르래는 균일한 원통형 고체입니다.

알려진 바에 따르면:

힘(F) = 6 뉴턴

질량(M) = 5kg

반지름(R) = 20cm = 20/100m = 0.2m

구하는 값: 각가속도 (α)

솔루션 :

힘이 작용하는 순간:

τ = FR = (6뉴턴)(0.2미터) = 1.2N·m

고체 원기둥의 관성 모멘트:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m ² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ².

각가속도:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12rad s ^-2

6. 질량이 4kg인 물체가 질량이 8kg이고 반지름이 R = 10cm인 도르래에 감긴 줄에 매달려 있습니다. 중력 가속도는 10 m²/s²입니다 ^. 물체의 선가속도는 얼마입니까? 도르래는 균일한 원기둥입니다.

알려진 바에 따르면:

도르래의 질량(m) = 8kg

도르래 반지름(r) = 10cm = 0.1m

블록의 질량(m) = 4kg

중력 가속도(g) = 10 m/ ^s²

무게(w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 뉴턴

구하는 것: 블록의 자유낙하 가속도

솔루션 :

고체 원기둥의 관성 모멘트:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

힘이 작용하는 순간:

τ = Fr = (40N)(0.1m) = 4Nm

각가속도:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

선형 가속도:

a = r α = (0.1)(100) = 10m/s ²

7. 질량 m인 물체가 도르래에 감긴 줄에 매달려 있습니다. 물체의 자유낙하 가속도가 am/ ^s² 일 때 , 도르래의 관성 모멘트는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

무게 = w = mg

레버 암 = R

각가속도 = α

블록의 자유낙하 가속도 = a ^ms⁻²

구하는 값: 도르래의 관성 모멘트(I)

솔루션 :

선형가속도와 각가속도 사이의 관계:

a = R α

α = a / R

관성 모멘트:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

각운동량

8. 질량이 0.2g인 입자가 10m/s의 일정한 속도로 원형 궤도를 따라 움직입니다. 원의 반지름은 3cm입니다. 이 입자의 각운동량은 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

입자의 질량(m) = 0.2그램 = 2 x ^10⁻⁴kg

각속도(ω) = 10 rad ^s⁻¹

반지름(r) = 3cm = 3 x ^10⁻² 미터

구하는 값: 입자의 각운동량

솔루션 :

각운동량의 방정식:

L = I ω

I = 각운동량, I = 관성 모멘트, ω = 각속도

(입자의) 관성 모멘트:

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

각운동량:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. 회전 운동이란 무엇인가요?
   • 대답회전 운동이란 고정된 축을 중심으로 물체가 움직이는 것을 말합니다. 물체의 모든 점이 축을 중심으로 원을 그리며 움직이는 운동입니다.
2. 회전 운동에서 선속도와 각속도는 어떤 관계가 있습니까?
   • 대답: 선형 속도 ($v$회전하는 물체의 한 점의 크기는 그 점까지의 거리에 정비례합니다.$r$회전축과 각속도로부터 ($\omega$객체의 ) 관계입니다. 관계는 다음과 같습니다. $v=r\cdot \omega$.
3. 관성 모멘트란 무엇이며, 회전 운동과 어떤 관계가 있습니까?
   • 대답관성 모멘트는 직선 운동에서 질량에 해당하는 회전 운동에서의 저항을 나타냅니다. 이는 물체의 회전 상태 변화에 대한 저항을 측정하는 척도입니다. 관성 모멘트는 물체의 질량과 회전축에 대한 질량 분포 모두에 따라 달라집니다.
4. 뉴턴의 제1 운동 법칙은 회전 운동에 어떻게 적용될까요?
   • 대답직선 운동을 하는 물체가 외부 힘이 작용하지 않는 한 계속 운동 상태를 유지하는 것처럼, 회전 운동을 하는 물체도 외부 토크가 작용하지 않는 한 회전 상태를 유지합니다.
5. 회전반경의 의미는 무엇인가요?
   • 대답회전반경은 물체의 질량이 회전축을 기준으로 얼마나 분포되어 있는지를 나타내는 척도입니다. 본질적으로, 물체의 모든 질량이 회전축에서 얼마나 멀리 떨어져 있어야 원래 분포와 동일한 관성 모멘트를 갖게 되는지를 설명합니다.
6. 각운동량이란 무엇이며, 어떻게 보존되는가?
   • 대답각운동량은 선운동량의 회전 운동량입니다. 각운동량은 물체의 관성 모멘트와 각속도의 곱입니다. 닫힌 계에서 전체 각운동량은 외부 토크가 작용하지 않는 한 일정하게 유지되는데, 이는 각운동량 보존 법칙을 보여줍니다.
7. 토크는 회전 운동에 어떤 영향을 미칠까요?
   • 대답토크는 힘의 회전 운동에 대한 등가물입니다. 토크는 물체의 회전 운동에 변화를 일으킵니다. 그 관계는 회전에 대한 뉴턴의 제2법칙으로 나타낼 수 있습니다. $\tau =I\cdot \alpha$어디로 $\tau$ 토크입니다. $I$ 는 관성 모멘트입니다. $\alpha$ 는 각가속도입니다.
8. 질량 중심은 회전 중심과 어떻게 다른가요?
   • 대답질량 중심과 회전 중심은 일치할 수도 있지만, 직선 운동 계산 시 물체 전체 질량이 집중되어 있다고 가정할 수 있는 지점을 질량 중심이라고 하고, 회전 중심은 물체가 회전하는 중심점(또는 축)을 말합니다.
9. 회전 운동에서 구심력의 역할은 무엇인가요?
   • 대답구심력은 원형 궤도를 따라 움직이는 물체에 작용하는 알짜힘으로, 회전 중심을 향합니다. 이 힘은 물체가 곡선 궤도를 유지하도록 하고, 관성으로 인해 직선으로 움직이는 것을 방지합니다.

10. 회전 운동 에너지는 관성 모멘트 및 각속도와 어떤 관계가 있습니까?

    • 대답회전 운동 에너지는 물체가 한 축을 중심으로 회전할 때 발생하는 에너지입니다. 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다. KE_{rotational​}=1/2 ​I ω²어디로 $I$ 관성 모멘트이며 $\omega$ 는 각속도입니다.