입자의 관성 모멘트 - 문제점과 해결책

입자의 관성 모멘트 - 문제점과 해결책

1. 아래 그림과 같이 두 개의 공이 막대로 연결되어 있습니다. 막대의 질량은 무시합니다 . 공 P의 질량은 600g이고 공 Q의 질량은 400g입니다. 이 시스템의 막대 AB에 대한 관성 모멘트는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

회전축은 AB입니다.

m _p = 600그램 = 0.6kg, m _q = 400그램 = 0.4kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

구하는 값: 시스템의 관성 모멘트

솔루션 :

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ² + (0.4 kg)(0.5 m) ²

I = (0.6 kg)(0.04 m ² ) + (0.4 kg)(0.25 m ² )

I = 0.024 kg m ² + 0.1 kg m ²

I = 0.124 kg m ²

2. 질량이 2kg인 막대 AB가 점 A를 중심으로 회전할 때, 막대의 관성 모멘트는 8kg·m²입니다 ^. 이 막대 를 점 O를 중심으로 회전시킬 때(AO = OB), 막대의 관성 모멘트는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

막대 AB의 질량(m) = 2 kg

점 A를 중심으로 회전시켜 회전반경(r)이 변 AB의 길이와 같도록 하면 관성 모멘트(I)는 8 kg·m²가 됩니다^.

원점 O를 중심으로 회전 시켜 회전반경(r)이 선분 AO의 길이와 선분 OB의 길이의 합과 같아지도록 할 때, 이 막대의 관성 모멘트는 얼마인가?

솔루션 :

나 = ^{2번 씨}

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 m ² = (2) r ²

r ² = 8 m ² / 2

r ² = 4 m ²

r = 2미터

점 O를 중심으로 회전시켜 1/2r = 1미터로 만들면 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

I = mr ² = (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg)(1 m ² ) = 2 kg m ²

3. 아래 그림과 같이 두 개의 공이 막대로 연결되어 있습니다. 막대의 질량은 무시합니다. 이 시스템의 관성 모멘트는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

공 A의 질량 (m)_A) = 200그램 = 0.2kg

공 B의 질량(mB ₎ = 400그램 = 0.4kg

공 A와 회전축 사이의 거리(rA ₎ = 0

공 B와 회전축 사이의 거리(rB ₎ = 25cm = 0.25m

구하는 값: 시스템의 관성 모멘트

솔루션 :

공 A의 관성 모멘트:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

공 B의 관성 모멘트:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

시스템의 관성 모멘트:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

4. 아래 그림과 같이 질량이 서로 다른 네 개의 입자가 있습니다. 수평선 P에 대한 이 시스템의 관성 모멘트를 구하십시오.

해법

회전축은 수평선 P입니다.

알려진 바에 따르면:

입자 A의 질량 (m _A ) = m

입자 B의 질량 (m _B ) = 2m

입자 C의 질량 (m _C ) = 3m

입자 통과 D (m _D ) = 4m

입자 A와 회전축 사이의 거리(rA ₎ = b

입자 B와 회전축 사이의 거리(rB ₎ = b

입자 C와 회전축 사이의 거리(rC ₎ = 2b

입자 D와 회전축 사이의 거리(r _D ) = 2b

구하는 것: 수평선 P에 대한 시스템의 관성 모멘트

솔루션 :

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

나는 = mb ² + 2mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2mb ² + 12mb ² + 16mb ²

I = 31mb ²

5. 막대로 연결된 네 개의 입자가 있습니다. 막대의 질량은 무시합니다. 아래 그림과 같이 입자 _m1 과 m2 _를 지나는 회전축에 대한 관성 모멘트를 구하십시오 .

알려진

입자 1의 질량(m)₁) = 1/4 kg

입자 2의 질량(m2 ₎ = 1/2 kg

입자 3의 질량(m3 ₎ = 1/4 kg

입자 4의 질량(m4 ₎ = 1/4 kg

입자 1와 회전축 사이의 거리(r1 ₎ = 0

입자 2와 회전축 사이의 거리(r2 ₎ = 0

입자 3와 회전축 사이의 거리(r3 ₎ = 10cm = 10/100m = 1/10m

입자 4와 회전축 사이의 거리(r4 ₎ = 10cm = 10/100m = 1/10m

구하는 것: 관성의 모멘트

솔루션 :

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + m ₃ r ₃ ² + m ₄ r ₄ ²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

나 = 2/400

I = 1/200 kg· ^m²

1. 입자의 관성 모멘트란 무엇입니까?
   • 대답질량을 가진 단일 입자의 경우 $m$ 거리에서 $r$ 회전축으로부터의 관성 모멘트 $I$ ~에 의해 주어진다. I=m×r².
2. 관성 모멘트가 질량의 "회전 운동학적 유사 개념"이라고 불리는 이유는 무엇일까요?
   • 대답질량이 뉴턴의 제2법칙에 따른 물체의 병진 운동 변화에 대한 저항을 나타내는 척도인 것처럼, 관성 모멘트는 물체의 회전 운동 변화에 대한 저항을 나타내는 척도입니다.
3. 입자와 회전축 사이의 거리가 변하면 관성 모멘트에 어떤 영향을 미칠까요?
   • 대답관성 모멘트는 회전축으로부터의 거리의 제곱에 비례합니다. 거리가 두 배가 되면 관성 모멘트는 네 배가 됩니다.
4. 거리의 제곱(r)이 왜 되는지 궁금하시죠?²관성 모멘트 공식에 거리 대신 )를 사용하는 건가요?
   • 대답회전 운동 에너지의 작용 방식 때문에 거리의 제곱이 사용됩니다. 회전 운동에서 물체의 각 입자는 질량과 회전축으로부터의 거리의 제곱에 비례하여 회전 운동 에너지에 기여합니다.
5. 입자의 질량이 세 배로 증가하고 축으로부터의 거리가 일정하게 유지될 때, 입자의 관성 모멘트는 어떻게 변할까요?
   • 대답질량이 세 배가 되고 거리가 일정하게 유지되면 관성 모멘트도 질량에 비례하므로 세 배가 됩니다.
6. 입자의 관성 모멘트가 0일 수 있을까요? 만약 그렇다면, 어떤 조건에서 가능할까요?
   • 대답네, 입자가 회전축 바로 위에 위치하면 관성 모멘트가 0이 되므로, 입자와 회전축 사이의 거리는 0이 됩니다. $r$ 축이 0과 같도록.
7. 질량과 크기가 같은 물체가 서로 다른 축을 중심으로 회전할 때 관성 모멘트가 다른 이유는 무엇일까요?
   • 대답회전축을 중심으로 한 질량 분포가 관성 모멘트를 결정합니다. 두 물체의 질량과 크기가 같더라도 회전축에 대한 질량 분포가 다르면 관성 모멘트도 달라집니다.
8. 관성 모멘트는 스칼라량인가요, 벡터량인가요?
   • 대답관성 모멘트는 스칼라량입니다. 하지만 복잡한 모양과 여러 개의 회전축을 가진 강체의 경우, 관성 모멘트는 텐서로 표현됩니다.
9. 질량이 각각 같은 두 입자가 있다면 $m$, 는 다음과 같은 거리에 위치해 있습니다. r_1​ r₂​ 회전축으로부터의 전체 관성 모멘트는 얼마입니까?
   • 대답관성 모멘트는 개별 입자에 대해 합산됩니다. 따라서 전체 관성 모멘트는 다음과 같습니다. I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. 관성 모멘트는 각운동량 보존 법칙과 어떤 관계가 있습니까?

    • 대답: 각운동량 $L$ 관성 모멘트의 곱입니다. $I$ 그리고 각속도 $\omega$다음 방정식으로 표현됩니다. $L=I\times \omega$외부 토크가 시스템에 작용하지 않으면 각운동량은 일정하게 유지됩니다. 즉, 관성 모멘트가 변하면(피겨 스케이터가 팔을 당기는 경우처럼) 각속도가 조정되어 관성 모멘트의 곱이 일정하게 유지되어야 합니다.