លំនាំរបស់ Pascal ក្នុង Combinatorics
គណិតវិទ្យាផ្សំ (Combinatorics) គឺជាសាខាមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីវិធីដែលវត្ថុអាចត្រូវបានរៀបចំ។ ឧបករណ៍គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងមានប្រយោជន៍បំផុតមួយនៅក្នុងវិស័យនេះគឺលំនាំរបស់ប៉ាស្កាល់ ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជាត្រីកោណរបស់ប៉ាស្កាល់។ ត្រីកោណរបស់ប៉ាស្កាល់គឺជាត្រីកោណនៃចំនួនដែលត្រូវបានសាងសង់ឡើងតាមច្បាប់ជាក់លាក់ និងមានការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាផ្សេងៗ រួមទាំងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ទ្រឹស្តីចំនួន និងជាការពិតណាស់ គណិតវិទ្យាផ្សំ។
ប្រភពដើមនៃត្រីកោណរបស់ប៉ាស្កាល់
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមលោក Blaise Pascal ដែលជាអ្នកគណិតវិទូជនជាតិបារាំងនៅសតវត្សរ៍ទី 17។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាត្រូវបានគេស្គាល់ដោយអ្នកគណិតវិទូឥណ្ឌា និងចិនជាយូរមកហើយមុនសម័យលោក Pascal។ នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា វាត្រូវបានគេហៅថា "Meru-Prastaara" ហើយនៅក្នុងប្រទេសចិន វាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា "ត្រីកោណយ៉ាងហួយ" ដែលដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទូជនជាតិចិន Yang Hui។
រចនាសម្ព័ន្ធត្រីកោណរបស់ប៉ាស្កាល់
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ចាប់ផ្តើមដោយលេខ ១ នៅចំណុចកំពូល។ ជួរនីមួយៗបន្តបន្ទាប់ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបូកលេខពីរនៅក្នុងជួរដែលនៅពីលើវា។ ជួរទីមួយមានតែលេខមួយគត់គឺ ១។ ជួរទីពីរមានលេខពីរដែលក៏ជាលេខ ១ ដែរ។ ជួរទីបីមានលេខ ១ នៅចុងនីមួយៗដោយមានលេខ ២ នៅចន្លោះពួកវា ដែលជាលទ្ធផលនៃការបូកលេខ ១ ពីរពីជួរមុន។
ជាទូទៅ ជួរទី n ក្នុងត្រីកោណរបស់ប៉ាស្កាល់អាចសរសេរបានដូចខាងក្រោម៖
១, (n-១)C១, (n-១)C២, …, (n-១)C(n-១), ១
នៅទីនេះ “kC(n)” គឺជានិមិត្តសញ្ញាផ្សំដែលត្រូវបានអានថា “n choose k” ឬ “n select k” ដែលជារូបមន្តផ្សំនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។
កម្មវិធីនៅក្នុង Combinatorics
១. ការរួមបញ្ចូលគ្នា
កម្មវិធីសំខាន់មួយនៃត្រីកោណប៉ាស្កាល់ក្នុងគណិតវិទ្យាបន្សំគឺការគណនាបន្សំ។ បន្សំគឺជាវិធីមួយនៃការជ្រើសរើសធាតុពីសំណុំដែលលំដាប់មិនត្រូវបានគិតគូរ។ នៅក្នុងបរិបទនៃត្រីកោណប៉ាស្កាល់ តម្លៃនៅក្នុងជួរទី n និងជួរឈរទី k តំណាងឱ្យបន្សំ n-1Ck-1។
ឧទាហរណ៍ ដើម្បីគណនាបន្សំ 5C2 (ជ្រើសរើស 2 ក្នុងចំណោម 5) យើងអាចមើលជួរទី 6 និងជួរឈរទី 3 នៅក្នុងត្រីកោណរបស់ Pascal ដែលផ្តល់តម្លៃ 10។ ម្យ៉ាងវិញទៀត មានវិធី 10 យ៉ាងដើម្បីជ្រើសរើសធាតុ 2 ពីសំណុំនៃធាតុ 5។
២. ការផ្លាស់ប្តូរ និងមេគុណទ្វេធា
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ក៏មានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងមេគុណប៊ីណូមៀដែលលេចឡើងនៅក្នុងការពង្រីកប៊ីណូមៀនៃ (x + y)^n។ មេគុណទាំងនេះគឺជាចំនួនដែលយើងរកឃើញនៅក្នុងត្រីកោណប៉ាស្កាល់។ ឧទាហរណ៍ ការពង្រីកនៃ (x + y)^3 គឺ៖
(x + y)^3 = 1 x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + 1 y^3
នៅទីនេះ មេគុណ 1, 3, 3 និង 1 គឺជាតម្លៃនៃត្រីកោណ Pascal នៅជួរទី 4។
៣. ល្បែងប្រូបាប៊ីលីតេ
នៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលបោះកាក់បួនដង យើងចង់ដឹងពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាលពីរ។ ដោយប្រើត្រីកោណប៉ាស្កាល់ យើងអាចស្វែងរកចំនួននៃបន្សំដែលត្រូវគ្នា ដែលស្ថិតនៅក្នុងជួរទីប្រាំ និងជួរឈរទីបី ដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវតម្លៃ 6។ ដូច្នេះ មានវិធីប្រាំមួយដើម្បីទទួលបានក្បាលពីរក្នុងការបោះកាក់បួនដង។
លក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសនៃត្រីកោណប៉ាស្កាល់
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលជាច្រើនផងដែរ៖
១. ស៊ីមេទ្រី
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់បង្ហាញពីស៊ីមេទ្រីនៃចំនួន។ ជួរទី n នៃត្រីកោណប៉ាស្កាល់គឺស៊ីមេទ្រី ដូច្នេះ nCr = nC(nr)។
២. ទំនាក់ទំនងហ្វីបូណាស៊ី
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ក៏អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីភ្ជាប់លំដាប់ Fibonacci ផងដែរ។ ចំនួន Fibonacci អាចរកបានដោយការបូកចំនួននៅលើបន្ទាត់អង្កត់ទ្រូងដែលប្រសព្វនឹងបន្ទាត់ជាច្រើននៅក្នុងត្រីកោណប៉ាស្កាល់។
៣. សមភាព
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់បង្ហាញលំនាំសមភាពគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ ប្រសិនបើយើងលាបពណ៌លេខសេស និងលេខគូនៅក្នុងត្រីកោណប៉ាស្កាល់ខុសគ្នា លំនាំដែលមើលឃើញគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នឹងលេចចេញមក ដែលជារឿយៗបង្កើតបានជាប្រភាគតូចៗ។
ការអនុវត្តលំនាំ Pascal ក្នុងការសរសេរកម្មវិធី
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយ និងការសរសេរកម្មវិធីផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ យើងអាចបង្កើតត្រីកោណប៉ាស្កាល់ដោយប្រើភាសាសរសេរកម្មវិធីដូចជា Python ជាមួយនឹងកូដដូចខាងក្រោម៖
“`ពស់ថ្លាន់
def generate_pascals_triangle(n):
ត្រីកោណ = [[1]]
សម្រាប់ i ក្នុងជួរ (1, n):
ជួរ = [1]
សម្រាប់ j ក្នុងជួរ (1, i):
row.append(ត្រីកោណ[i-1][j-1] + ត្រីកោណ[i-1][j])
row.append(1)
ត្រីកោណ។បន្ថែម(ជួរដេក)
ត្រីកោណត្រឡប់មកវិញ
n = 5
ត្រីកោណ = បង្កើតត្រីកោណប៉ាស្កាល់ (n)
សម្រាប់ជួរដេកក្នុងត្រីកោណ៖
បោះពុម្ព (ជួរ)
“ `
កូដខាងលើនឹងបង្ហាញជួរទីមួយដល់ជួរទីប្រាំនៃត្រីកោណ Pascal ដែលអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់កម្មវិធីវិភាគបន្សំ និងប្រូបាប៊ីលីតេផ្សេងៗ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ត្រីកោណប៉ាស្កាល់ ឬលំនាំប៉ាស្កាល់ គឺជាឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាព និងអាចប្រើប្រាស់បានច្រើនយ៉ាងក្នុងគណិតវិទ្យាផ្សំ។ ចាប់ពីការគណនាបន្សំ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៅក្នុងល្បែងប្រូបាប៊ីលីតេ រហូតដល់ការឌិគ្រីបការពង្រីកប៊ីណូមៀ និងការតភ្ជាប់គោលគំនិតគណិតវិទ្យាផ្សេងៗ លំនាំប៉ាស្កាល់ផ្តល់នូវវិធីដ៏មានប្រសិទ្ធភាព និងវិចារណញាណក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញ។ ជាមួយនឹងរចនាសម្ព័ន្ធសាមញ្ញ ប៉ុន្តែមានជម្រៅគណិតវិទ្យាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ លំនាំប៉ាស្កាល់នៅតែបន្តសិក្សា និងអនុវត្តនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗទៀត។
