វិធីសាស្ត្រ​បញ្ជាក់​គណិតវិទ្យា

វិធីសាស្ត្រ​ភស្តុតាង​គណិតវិទ្យា

ភស្តុតាងក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាចំណុចស្នូលនៃមុខវិជ្ជានេះ។ វិធីសាស្ត្របញ្ជាក់គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ធានានូវភាពត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យា។ ចាប់ពីការសន្មត់ជាមូលដ្ឋានរហូតដល់ការសន្និដ្ឋាន ជំហាននីមួយៗត្រូវតែធានាថាមានសុពលភាព។ ការយល់ដឹងអំពីវិធីសាស្ត្របញ្ជាក់ផ្សេងៗមិនត្រឹមតែពង្រឹងជំនាញវិភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាថែមទាំងបង្កើនបទពិសោធន៍សិក្សា និងការអនុវត្តគណិតវិទ្យាក្នុងវិស័យផ្សេងៗផងដែរ។

អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្ត្របញ្ជាក់សំខាន់ៗមួយចំនួនក្នុងគណិតវិទ្យា រួមទាំងវិធីសាស្ត្របញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់ វិធីសាស្ត្របញ្ជាក់ដោយប្រយោល (ផ្ទុយ និងផ្ទុយស្រឡះ) វិធីសាស្ត្រអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា និងវិធីសាស្ត្របញ្ជាក់ដោយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។ វិធីសាស្ត្រនីមួយៗមានការអនុវត្ត ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចខ្សោយខុសៗគ្នា។ ចូរយើងស្វែងយល់ឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅ។

១. ភស្តុតាងដោយផ្ទាល់

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍
ភស្តុតាងផ្ទាល់ គឺជាវិធីសាស្ត្រមួយដែលយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយដោយបង្ហាញថា ប្រសិនបើសម្មតិកម្ម (សម្មតិកម្ម) ពិត នោះសេចក្តីសន្និដ្ឋានក៏ពិតដែរ។ នៅក្នុងភស្តុតាងផ្ទាល់ ជាធម្មតាយើងចាប់ផ្តើមជាមួយអ្វីដែលគេដឹង ហើយប្រើជំហានឡូជីខលដើម្បីឈានដល់សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

ទំនាក់ទំនង៖
សូមបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើ \(n\) ជាចំនួនគូ នោះ \(n^2\) ក៏ជាចំនួនគូដែរ។

ភស្តុតាង៖
ឧបមាថា \(n\) ជាចំនួនគូ។ បន្ទាប់មក យោងតាមនិយមន័យនៃចំនួនគូ វាអាចត្រូវបានសរសេរថា \(n = 2k\) សម្រាប់ចំនួនគត់ \(k\) មួយចំនួន។ ដូច្នេះ
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
វាច្បាស់ណាស់ថា \(n^2\) អាចត្រូវបានបង្ហាញជា 2 ដងនៃចំនួនគត់ (ឧ. \(2k^2\))។ ដោយសារតម្រូវការចម្បងសម្រាប់ចំនួនគូគឺថាវាអាចត្រូវបានបង្ហាញជា 2 ដងនៃចំនួនគត់ នោះ \(n^2\) ក៏ជាចំនួនគូដែរ។

២. ភស្តុតាងប្រយោល

ភស្តុតាងប្រយោលពាក់ព័ន្ធនឹងវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរគឺ ភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា និង ភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា។

ក. ភស្តុតាងនៃភាពផ្ទុយគ្នា

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍
វិធីសាស្ត្រនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍បង្កប់ន័យថា "ប្រសិនបើ \(P\) នោះ \(Q\)" ដោយការបញ្ជាក់ភាពផ្ទុយគ្នានៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ "ប្រសិនបើមិនមែន \(Q\) ទេ នោះមិនមែន \(P\) ទេ"។

ទំនាក់ទំនង៖
សូមបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើ \(n^2\) ជាចំនួនសេស នោះ \(n\) ក៏ជាចំនួនសេសដែរ។

ភស្តុតាង៖
ចំណុចផ្ទុយនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺ៖ ប្រសិនបើ \(n\) មិនមែនជាចំនួនសេស (ឬគូ) ទេ នោះ \(n^2\) មិនមែនជាចំនួនសេស (ឬគូ) ទេ។
ឧបមាថា \(n\) ជាចំនួនគូ បន្ទាប់មក \(n = 2k\) សម្រាប់ចំនួនគត់ \(k\)។ ដូច្នេះ
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
នេះមានន័យថា \(n^2\) ជាចំនួនគូ។ ដូច្នេះ ចំនួនផ្ទុយត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដើមក៏ត្រូវបានធានាថាជាការពិតផងដែរ។

ខ. ភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍
ភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា ពាក់ព័ន្ធនឹងការសន្មត់ថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបញ្ជាក់គឺមិនពិត ហើយបង្ហាញថា ការសន្មត់នេះនាំឱ្យមានភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខល។

ទំនាក់ទំនង៖
ចូរបញ្ជាក់ថា \(\sqrt{2}\) ជាចំនួនអសមហេតុផល។

ភស្តុតាង៖
ផ្ទុយទៅវិញ ឧបមាថា \(\sqrt{2}\) ជាចំនួនសមហេតុផល។ បន្ទាប់មក \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\) ដែល \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនគត់បឋមដែលទាក់ទងគ្នា (ការដកគឺ 1) និង \(b\) ជា 0\)។ ដូច្នេះ យើងអាចសរសេរថា៖
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
ពីសមីការនេះ យើងឃើញថា \(a^2\) ជាចំនួនគូ ដែលមានន័យថា \(a\) ក៏ត្រូវតែជាចំនួនគូដែរ។ ឧបមាថា \(a = 2k\) យើងមាន៖
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
ដោយសារ \(b^2\) ជាចំនួនគូ នោះ \(b\) ក៏ត្រូវតែជាចំនួនគូដែរ។ នេះមានន័យថា \(a\) និង \(b\) សុទ្ធតែជាចំនួនគូ ដែលផ្ទុយនឹងសម្មតិកម្មដើមដែលថា \(\frac{a}{b}\) ស្ថិតក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វា។ ដូច្នេះ \(\sqrt{2}\) មិនអាចជាចំនួនសមហេតុផលបានទេ ដូច្នេះវាជាចំនួនមិនសមហេតុផល។

៣. អាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍
អាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា គឺជាវិធីសាស្ត្របញ្ជាក់មួយដែលប្រើដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងចំនួនគត់។ ដំណើរការនេះមានពីរជំហាន៖ មូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង និងជំហានអាំងឌុចស្យុង។

ទំនាក់ទំនង៖
ចូរបញ្ជាក់ថាផលបូកនៃស៊េរីដំបូងនៃចំនួនគត់ \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\)។

ភស្តុតាង៖

- មូលដ្ឋានណែនាំ៖
សម្រាប់ \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
ត្រឹមត្រូវ។

- ជំហានណែនាំ៖
សន្មតថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះពិតសម្រាប់ចំនួន \(k\)។ នោះគឺ
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
យើងត្រូវបញ្ជាក់ថាវាក៏ពិតសម្រាប់ \(k + 1\) ដែរ។ យើងបូក \((k + 1)\) ទៅភាគីទាំងសងខាងនៃសមីការ៖
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
ដូច្នេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះពិតសម្រាប់ \(k + 1\)។ ដូច្នេះ តាមគោលការណ៍នៃអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះពិតសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានទាំងអស់ \(n\)។

៤. ភស្តុតាងជាមួយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍
វិធីសាស្ត្រនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការបញ្ជាក់ដោយជ្រើសរើសឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ដែលបំពេញតាមលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ហើយបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នោះជាការពិត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រនេះជាធម្មតាត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍មិនពិត។

ទំនាក់ទំនង៖
ចូរបញ្ជាក់ថាមានលេខដែលមិនអាចបង្ហាញជាផលបូកនៃការ៉េល្អឥតខ្ចោះពីរបាន។

ភស្តុតាង៖
សាកល្បងប្រើឧទាហរណ៍ \(3\)៖
ឧបមាថា \(3\) អាចត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃការ៉េល្អឥតខ្ចោះពីរ ពោលគឺ \(a^2 + b^2 = 3\)។ បន្ទាប់ពីសាកល្បងបន្សំទាំងអស់នៃចំនួនគត់ \(a\) និង \(b\) រួច
២. \(a = 0\), \(b^1 = 2\) (មិនអាចទៅរួចទេ)។
២. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (មិនអាចទៅរួចទេ)។
៣. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (មិនអាចទៅរួចទេ)។
៤. ចំនួនអវិជ្ជមាន ឬចំនួនធំជាង ២ ក៏មិនអាចធ្វើទៅរួចដែរ។

នេះបង្ហាញថា \(3\) មិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃចំនួនការ៉េពីរបានទេ។ ដូច្នេះ មានលេខដែលមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃចំនួនការ៉េល្អឥតខ្ចោះពីរបាន។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ភស្តុតាងក្នុងគណិតវិទ្យាតម្រូវឱ្យមានវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗគ្នា និងជំហានជាប្រព័ន្ធអាស្រ័យលើប្រភេទនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលកំពុងត្រូវបានបញ្ជាក់។ ភស្តុតាងដោយផ្ទាល់ ភស្តុតាងដោយប្រយោល (ផ្ទុយ និងផ្ទុយស្រឡះ) អាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យា និងឧទាហរណ៍ពិសេស គឺជាវិធីសាស្រ្តភស្តុតាងចម្បងមួយចំនួនដែលប្រើក្នុងស្ថានភាពផ្សេងៗ។ ការយល់ដឹងអំពីវិធីសាស្រ្តទាំងនេះនឹងពង្រឹងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា និងជួយអ្នកស្វែងយល់កាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីសាខាផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា។

ជាមួយនឹងការអនុវត្ត និងការយល់ដឹងស៊ីជម្រៅ វិធីសាស្ត្របញ្ជាក់គណិតវិទ្យានឹងក្លាយជាឧបករណ៍មួយដែលតែងតែត្រៀមខ្លួនជាស្រេចដើម្បីប្រើប្រាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាស្មុគស្មាញ។