ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីគោលគំនិតនៃដេរីវេអនុគមន៍
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលមានការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងមុខវិជ្ជាផ្សេងៗ ដូចជារូបវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច និងវិស្វកម្ម។ អត្ថបទនេះនឹងគ្របដណ្តប់លើបញ្ហាឧទាហរណ៍មួយចំនួន និងពិភាក្សាអំពីគោលគំនិតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ ដើម្បីផ្តល់នូវការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីប្រធានបទនេះ។
និយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃដេរីវេ
មុនពេលយើងចូលទៅក្នុងសំណួរឧទាហរណ៍ វាជាគំនិតល្អក្នុងការពិនិត្យឡើងវិញដោយសង្ខេបអំពីនិយមន័យ និងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃដេរីវេ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ \( f(x) \) នៅចំណុច \( x = a \) គឺ៖
\[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
អនុគមន៍ \(f'(x)\) ត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍ដេរីវេនៃ \(f(x)\)។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1: ដេរីវេពហុធាមូលដ្ឋាន
សំណួរ៖
រកដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7\)។
ប៉េបាហាសាន៖
ប្រើច្បាប់ដេរីវេមូលដ្ឋាន \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \)។
១. សម្រាប់ \( ៣x^៣ \):
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3\cdot 3x^{3-1} = 9x^2 \]
២. សម្រាប់ \( -៥x^២ \):
\[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 x^2 = -10x]
៣. សម្រាប់ \(២x\):
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2\]
៤. សម្រាប់ \( -៧ \):
\[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
ដូច្នេះ៖
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2: ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
សំណួរ៖
ចូររកដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ g(x) = g(x) \cdot g(x) \cdot g(x) \cdot g(x))។
ប៉េបាហាសាន៖
ប្រើច្បាប់ផលគុណ \(\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \) ជាមួយ \(u(x) = \sin(x) \) និង \(v(x) = \cos(x) \)។
១. ដេរីវេនៃ \(\sin(x)\) គឺ \(\cos(x)\) ដូច្នេះ \(u'(x) = \cos(x)\)។
២. ដេរីវេនៃ \(\cos(x)\) គឺ \(-\sin(x)\) ដូច្នេះ \(v'(x) = -\sin(x)\)។
ការជំនួស \(u'(x)\) និង \(v'(x)\):
\[ g'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \]
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
លទ្ធផលចុងក្រោយ៖
\[ g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
ឧទាហរណ៍ទី 3: ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
សំណួរ៖
ចូររកដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ \( h(x) = e^{2x} \)។
ប៉េបាហាសាន៖
ប្រើច្បាប់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល \( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) ជាមួយ \( k = 2 \)។
\[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
\[ h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \]
លទ្ធផលចុងក្រោយ៖
\[ h'(x) = 2e^{2x} \]
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 4: ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត
សំណួរ៖
ចូររកដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ π(x) = ...
ប៉េបាហាសាន៖
ប្រើច្បាប់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) ជាមួយ \( u(x) = 3x + 1 \)។
១. រកដេរីវេខាងក្នុង \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
២. ប្រើច្បាប់ដេរីវេលោការីត៖
\[ p'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3\]
លទ្ធផលចុងក្រោយ៖
\[ p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 5: ការអនុវត្តនិស្សន្ទវត្ថុ - អតិបរមា និងអប្បបរមា
សំណួរ៖
រកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5\) លើចន្លោះពេល \( x \in [-2, 2]\)។
ប៉េបាហាសាន៖
១. រកដេរីវេដំបូងនៃ \( q(x)\):
\[ q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5) \]
\[ q'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]
២. ស្វែងរកចំណុចស្ថានីដោយដោះស្រាយ \( q'(x) = 0 \):
\[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \]
\[ -6(x^2 – x – 2) = 0 \]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ (x-2)(x+1) = 0 \]
ចំណុចស្ថានីគឺ x = 2 និង x = -1។
៣. វាយតម្លៃ \( q(x)\) នៅចំណុចសំខាន់ៗ និងព្រំដែនចន្លោះពេល៖
\[ q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5 \]
\[ = ១៦ + ១២ – ២៤ – ៥ \]
\[ = -1 \]
\[ q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5 \]
\[ = -១៦ + ១២ + ២៤ – ៥ \]
\[ = ១៧១.៨ \]
\[ q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5 \]
\[ = ១៦ + ១២ – ២៤ – ៥ \]
\[ = -12 \]
៤. ការវាយតម្លៃលទ្ធផល៖
– តម្លៃអតិបរមាកើតឡើងនៅ \( x = 2\) ជាមួយ \( q(2) = 15\)។
– តម្លៃអប្បបរមាកើតឡើងនៅ \( x = -1\) ជាមួយ \( q(-1) = -12\)។
Penutup
ការយល់ដឹងយ៉ាងស៊ីជម្រៅអំពីគោលគំនិតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗ។ សង្ឃឹមថាឧទាហរណ៍បញ្ហា និងការពិភាក្សាខាងលើនឹងជួយធ្វើឱ្យការយល់ដឹងរបស់អ្នកអំពីគោលគំនិតកាន់តែស៊ីជម្រៅ។ នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង ជារឿយៗយើងត្រូវផ្សំច្បាប់ និងទ្រឹស្តីបទផ្សេងៗដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញជាងនេះ។ សូមរីករាយក្នុងការរៀនសូត្រ!
