Тригонометриялық қатынастардың бір түріне мысал сұрақтар және талқылау: tan θ
Тригонометрия - үшбұрыштардағы бұрыштар мен қабырғалардың ұзындықтары арасындағы байланысты зерттейтін математика саласы. Жиі талқыланатын тригонометриялық қатынастың бірі - тангенс (tangens). Бұл мақалада біз tangens қатынасын әртүрлі есептерде қолдануға және tan θ-ға қатысты бірнеше мысалдарды талқылаймыз.
Тан θ анықтамасы
θ бұрышының тангенсі тікбұрышты үшбұрышта қарама-қарсы қабырғаның ұзындығының көршілес қабырғаның ұзындығына қатынасы ретінде анықталады. Математикалық тұрғыдан бұл былай жазылады:
\[ \tan θ = \frac{\text{қарсы жақ}}{\text{көршілес жақ}} \]
Бірлік шеңберде tan-ды шеңбердің центрінен бір бірлік қашықтықта орналасқан нүктенің y координатасы (алдыңғы жағы) мен x координатасы (бүйір жағы) арасындағы қатынас ретінде де түсіндіруге болады.
Математика мен физикадағы күйген түс функциясы
Тригонометрия, әсіресе күйген түс функциясы, әртүрлі математикалық және физикалық қолданбаларда қолданылады. Мысалы, классикалық физикада күйген түс функциясы снаряд қозғалысын талдауда, ал инженерияда беттің көлбеу бұрышын немесе градиентін есептеу үшін қолданылады.
Үлгі сұрақтар және талқылау
tan θ қолданылуын тереңірек түсіну үшін бірнеше мысал сұрақтар және оларды талқылау берілген.
1-сұрақ: Тікбұрышты үшбұрыштың tan θ мәнін есептеу
Берілгені: Тікбұрышты үшбұрыштың θ бұрышына қарсы орналасқан алдыңғы қабырғасының ұзындығы 4 см, ал θ бұрышына іргелес жатқан қабырғасының ұзындығы 3 см. tan θ мәнін есептеңіз.
Талқылау:
«Қараңғылық» сөзінің анықтамасын қолданыңыз:
\[ \tan θ = \frac{\text{алдыңғы жағы}}{\text{бүйір жағы}} \]
Белгілі мәндерді ауыстырыңыз:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
Сонымен, tan θ мәні \( \frac{4}{3} \) болып табылады.
2-сұрақ: tan θ көмегімен қабырғаның ұзындығын анықтау
Берілгені: θ бұрышы бар тікбұрышты үшбұрыштың tan θ = 0.75 екені белгілі. θ бұрышына іргелес қабырғаның ұзындығы 8 см. θ бұрышына қарама-қарсы қабырғаның ұзындығын есептеңіз.
Талқылау:
Қарама-қарсы жақтың ұзындығын табу үшін қоңыр түстің анықтамасын қолданыңыз:
\[ \tan θ = \frac{\text{алдыңғы жағы}}{\text{бүйір жағы}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{алдыңғы жағы}}{8} \]
Теңдеуді шешу үшін екі жағын да 8-ге көбейтіңіз.
\[ \мәтін{алдыңғы жағы} = 0.75 \8 еселенген \]
\[ \мәтін{алдыңғы жағы} = 6 см \]
Сонымен, алдыңғы жағының ұзындығы 6 см.
3-сұрақ: Тан θ белгілі болса, θ бұрышын есептеу
Берілгені: Тікбұрышты үшбұрыштың tan θ = 1 екені белгілі. θ бұрышын атаңыз.
Талқылау:
Қарама-қарсы және іргелес қабырғалардың ұзындықтары тең болған кезде бұрыштың тотығуы 1-ге тең болады. Негізгі тригонометрияда бұл 45° бұрышта болады.
Сондықтан θ мәні 45°-қа тең.
4-сұрақ: Алгебра есептерінде Tan θ функциясын қолдану
Берілгені: Биіктігі 15 метр болатын бағанның жоғарғы жағынан бағанның табанынан 20 метр жердегі нүктеге дейін арқан байланған. tan θ есептеңіз, мұндағы θ - арқан мен бағанның арасындағы бұрыш.
Талқылау:
«Қараңғылық» сөзінің анықтамасын қолданыңыз:
\[ \tan θ = \frac{\text{алдыңғы жағы (полюс биіктігі)}}{\text{бүйір жағы (көлденең қашықтық)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
Бөлшекті жеңілдетіңіз:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Сонымен, tan θ мәні \( \frac{3}{4} \) болып табылады.
5-сұрақ: Қашықтықтан және көлбеу бұрышынан биіктікті анықтау
Берілгені: Бақылаушы биік ғимараттан 100 метр қашықтықта тұр. Бақылаушы тұрған жерден ғимараттың жоғарғы жағына дейінгі бақылаудың tan θ мәні \(\tan 30^\circ\) тең. Ғимараттың биіктігін анықтаңыз.
Талқылау:
\(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) екені белгілі.
\[ \tan θ = \frac{\text{алдыңғы жағы (ғимарат биіктігі)}}{\text{бүйір жағы (қашықтық)}} \]
Белгілі мәндерді теңдеуге қосыңыз
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{ғимарат биіктігі}}{100} \]
Биіктікті анықтау үшін екі жағын да 100-ге көбейтіңіз.
\[ \text{ғимарат биіктігі} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{ғимарат биіктігі} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{ғимарат биіктігі} ≈ 57.73 \text{ метр} \]
Сонымен, ғимараттың биіктігі шамамен 57.73 метрді құрайды.
6-сұрақ: Биіктік пен қашықтықтан бұрышты анықтау
Берілгені: Мұнараның биіктігі 50 метр, ал бақылау нүктесінен мұнараның түбіне дейінгі көлденең қашықтық 70 метр екенін білесіз. Мұнараның жоғарғы жағына дейінгі биіктік бұрышын анықтаңыз.
Талқылау:
\[ \tan θ = \frac{\text{мұнара биіктігі}}{\text{горизонтальды қашықтық}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
θ табу үшін кері тангенс функциясын (tan⁻¹) немесе арктанды қолданамыз.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Калькуляторды немесе тригонометриялық кестені пайдаланып, θ мәнін таба аламыз.
\[θ ≈ 35.54° \]
Сонымен, мұнараның жоғарғы жағына дейінгі биіктік бұрышы шамамен 35.54° құрайды.
Қорытынды
Тригонометрия ғылымның көптеген салаларында қуатты құрал болып табылады. Мысалы, тангенс - бұрыштар мен қабырғалардың ұзындықтарына қатысты есептерді шешу үшін қолданылатын қарапайым, бірақ қуатты қатынас. Оның анықтамасын және оны қалай қолдану керектігін түсіну арқылы біз геометрия мен физиканың кең ауқымды есептерін шеше аламыз. Жоғарыдағы мысал сияқты есептерді жаттықтыру арқылы біз күнделікті есептеулерде tan θ-ны қолдануда шебер бола аламыз.
