ნაწილაკების ინერციის მომენტი – პრობლემები და გადაწყვეტილებები

ნაწილაკების ინერციის მომენტი - პრობლემები და გადაწყვეტილებები

1. ორი ბურთი, რომლებიც ღეროთი არიან დაკავშირებული, როგორც ეს ქვემოთ მოცემულ ფიგურაზეა ნაჩვენები. უგულებელყავით ღეროს მასა . ბურთის P მასა 600 გრამია, ხოლო ბურთის Q მასა 400 გრამი. რა არის სისტემის ინერციის მომენტი AB-სთან მიმართებაში?

ცნობილი:

ბრუნვის ღერძი არის AB. ნაწილაკების ინერციის მომენტი - პრობლემები და გადაწყვეტილებები 1

მ _p = 600 გრამი = 0.6 კგ, მ _q = 400 გრამი = 0.4 კგ

რ _პ = 20 სმ = 0.2 მ, რ _ც = 50 სმ = 0.5 მ

სასურველი: სისტემის ინერციის მომენტი

გამოსავალი:

I = ^m^pr_r p2 ₊ m _q r _q2

I = (0.6 კგ)(0.2 მ) ² + (0.4 კგ)(0.5 მ) ²

I = (0.6 კგ)(0.04 მ ² ) + (0.4 კგ)(0.25 მ ² )

I = 0.024 კგ მ ² + 0.1 კგ მ ²

I = 0.124 კგ მ ²

2. AB წერტილის 2 კგ მასის ღერო A წერტილის გარშემო შემობრუნდა, ღეროს ინერციის მომენტი 8 კგ მ²-ია ^. თუ O წერტილის გარშემო შემოვრთავთ (AO = OB), რას უდრის ღეროს ინერციის მომენტი?

ცნობილი: ნაწილაკების ინერციის მომენტი - პრობლემები და გადაწყვეტილებები 2

ღეროს AB მასა (მ) = 2 კგ

თუ A წერტილის გარშემო ბრუნავს ისე, რომ ბრუნვის რადიუსი (r) = AB-ის სიგრძე = r, მაშინ ინერციის მომენტი (I) = 8 კგ მ ²

სასურველი: თუ ბრუნვა O წერტილის გარშემო ისეა, რომ ბრუნვის რადიუსი (r) = AO-ს სიგრძე = OB-ს სიგრძე = 1/2 r, მაშინ რა არის ღეროს ინერციის მომენტი?

გამოსავალი:

მე = ბატონი ²

8 კგ მ ² = (2 კგ) რ ²

8 მ ² = (2) რ ²

რ ² = 8 მ ² / 2

რ ² = 4 მ ²

r = 2 მეტრი

თუ O წერტილის გარშემო ბრუნავს ისე, რომ ½ r = 1 მეტრი იყოს, მაშინ ინერციის მომენტი:

I = mr ² = (2 კგ)(1 მ) ² = (2 კგ)(1 მ ² ) = 2 კგ მ ²

3. ორი ბურთი, რომლებიც დაკავშირებულია ღეროთი, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაზე. უგულებელყავით ღეროს მასა. რა არის სისტემის ინერციის მომენტი?

ცნობილი:

ბურთის მასა A (მ)_A) = 200 გრამი = 0.2 კგ ნაწილაკების ინერციის მომენტი - პრობლემები და გადაწყვეტილებები 3

ბურთის მასა B (მ² ₎ = 400 გრამი = 0.4 კგ

მანძილი ბურთ A-სა და ბრუნვის ღერძს შორის (r _A ) = 0

მანძილი ბურთ B-სა და ბრუნვის ღერძს შორის (r _B ) = 25 სმ = 0.25 მ

სასურველი: სისტემის ინერციის მომენტი

გამოსავალი:

ბურთის A ინერციის მომენტი:

IA ₌ (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

B ბურთის ინერციის მომენტი:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 კგ მ ²

სისტემის ინერციის მომენტი:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 კგ მ ² = 25 x 10 ^-3 კგ მ ²

4. ქვემოთ მოცემულ ფიგურაზე ნაჩვენებია სხვადასხვა მასის ოთხი ნაწილაკი. განსაზღვრეთ სისტემის ინერციის მომენტი ჰორიზონტალური ხაზის P მიმართ.

Solution

ბრუნვის ღერძი არის ჰორიზონტალური ხაზი P.

ცნობილი: ნაწილაკების ინერციის მომენტი - პრობლემები და გადაწყვეტილებები 4

ნაწილაკის A მასა (მ _A ) = მ

ნაწილაკი B-ს მასა (მ² ₎ = 2მ

ნაწილაკის C მასა (მ _C ) = 3 მ

ნაწილაკების გავლა D (m _D ) = 4 მ

ნაწილაკ A-სა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (r _A ) = b

B ნაწილაკსა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (rB ₎ = b

C ნაწილაკსა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (rC ₎ = 2b

ნაწილაკ D-სა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (r _D ) = 2b

სასურველი: სისტემის ინერციის მომენტი ჰორიზონტალური ხაზის P მიმართ.

გამოსავალი:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (მ) (ბ) ² + (2 მ) (ბ) ² + (3 მ) (2ბ) ² + (4 მ) (2ბ) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 მბ ²

5. ოთხი ნაწილაკი, რომლებიც ღეროთი არიან დაკავშირებული. ღეროს მასა არ გაითვალისწინოთ. განსაზღვრეთ ინერციის მომენტი m ₁ და m ₂ ნაწილაკების ბრუნვის ღერძის მიმართ , როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაზე.

ცნობილია

ნაწილაკის 1 მასა (მ₁) = 1/4 კგ ნაწილაკების ინერციის მომენტი - პრობლემები და გადაწყვეტილებები 5

ნაწილაკის 2 მასა (მ ₂ ) = 1/2 კგ

ნაწილაკის 3 მასა (მ ₃ ) = 1/4 კგ

ნაწილაკის 4 მასა (მ ₄ ) = 1/4 კგ

ნაწილაკ 1-სა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (r1 ₎ = 0

ნაწილაკ 2-სა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (r2 ₎ = 0

ნაწილაკ 3-სა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (r3 ₎ = 10 სმ = 10/100 მ = 1/10 მ

ნაწილაკ 4-სა და ბრუნვის ღერძს შორის მანძილი (r4 ₎ = 10 სმ = 10/100 მ = 1/10 მ

სასურველი: ინერციის მომენტი

გამოსავალი:

I = მ ₁ რ ₁² + მ ₂ რ ₂² + მ ₃ რ ₃² + მ ₄ რ ₄²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 კგ.მ ²

რა არის ნაწილაკის ინერციის მომენტი?
- უპასუხეთმასის ერთი ნაწილაკისთვის $m$ მანძილზე $r$ ბრუნვის ღერძიდან, მისი ინერციის მომენტიდან $I$ მოცემულია $I = m \times r^{2}$ .
რატომ მოიხსენიება ინერციის მომენტი ხშირად მასის „ბრუნვით ანალოგად“?
- უპასუხეთისევე, როგორც მასა არის ობიექტის წინააღმდეგობის საზომი მისი გადატანითი მოძრაობის ცვლილებების მიმართ (ნიუტონის მეორე კანონის გამო), ინერციის მომენტი არის ობიექტის წინააღმდეგობის საზომი მისი ბრუნვითი მოძრაობის ცვლილებების მიმართ.
როგორ მოქმედებს ნაწილაკის ბრუნვის ღერძიდან დაშორების ცვლილება მის ინერციის მომენტზე?
- უპასუხეთინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძიდან მანძილის კვადრატის პროპორციულია. თუ მანძილს გააორმაგებთ, ინერციის მომენტი ოთხჯერ გაიზრდება.
რატომ არის მანძილის კვადრატი (r?)²) გამოყენებულია ინერციის მომენტის ფორმულაში მხოლოდ მანძილის ნაცვლად?
- უპასუხეთმანძილის კვადრატი გამოიყენება ბრუნვის დროს კინეტიკური ენერგიის მოქმედების წესის გამო. ბრუნვითი მოძრაობისას, ობიექტის თითოეული ნაწილაკი წვლილს შეიტანს ბრუნვის კინეტიკურ ენერგიაში, როგორც მისი მასის, ასევე ღერძიდან კვადრატამდე მანძილის მიხედვით.
როგორ იცვლება ნაწილაკის ინერციის მომენტი, თუ მისი მასა სამჯერ იზრდება და ღერძიდან მანძილი მუდმივია?
- უპასუხეთთუ მასა სამჯერ გაიზრდება და მანძილი მუდმივი დარჩება, ინერციის მომენტიც სამჯერ გაიზრდება, რადგან ის მასის პირდაპირპროპორციულია.
შეიძლება თუ არა ნაწილაკს ჰქონდეს ნულის ტოლი ინერციის მომენტი? თუ კი, რა პირობით?
- უპასუხეთდიახ, ნაწილაკს ექნება ნულის ტოლი ინერციის მომენტი, თუ ის პირდაპირ ბრუნვის ღერძზე მდებარეობს, რაც მის მანძილს $r$ ნულის ტოლი ღერძიდან.
რატომ აქვთ ერთი და იგივე მასისა და ზომის სხვადასხვა სხეულებს ინერციის განსხვავებული მომენტები სხვადასხვა ღერძის გარშემო ბრუნვისას?
- უპასუხეთმასის განაწილება ბრუნვის ღერძის გარშემო განსაზღვრავს ინერციის მომენტს. მაშინაც კი, თუ ორ ობიექტს ერთნაირი მასა და ზომა აქვს, მათი მასის განაწილება ბრუნვის ღერძთან მიმართებაში შეიძლება განსხვავდებოდეს, რაც ინერციის სხვადასხვა მომენტს იწვევს.
ინერციის მომენტი სკალარული სიდიდეა თუ ვექტორული?
- უპასუხეთინერციის მომენტი სკალარული სიდიდეა. თუმცა, რთული ფორმებისა და ბრუნვის მრავალი ღერძის მქონე ხისტი სხეულებისთვის ის ტენსორით არის წარმოდგენილი.
თუ ორი ნაწილაკია, თითოეულს მასა აქვს $m$ , განლაგებულია მანძილზე $r_{1}$ მდე $r_{2}$ ბრუნვის ღერძიდან, რას უდრის ინერციის კომბინირებული მომენტი?
- უპასუხეთინერციის მომენტი ცალკეული ნაწილაკებისთვის ადიტიურია. ამრიგად, ინერციის კომბინირებული მომენტი $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
როგორ უკავშირდება ინერციის მომენტი კუთხური იმპულსის შენარჩუნებას?
- უპასუხეთკუთხური იმპულსი $L$ არის ინერციის მომენტის ნამრავლი $I$ და კუთხური სიჩქარე $ω$ , წარმოდგენილია განტოლებით $L = I \times ω$ თუ სისტემაზე გარე ბრუნვის მომენტი არ მოქმედებს, კუთხური იმპულსი მუდმივი დარჩება. ეს ნიშნავს, რომ თუ ინერციის მომენტი იცვლება (როგორც ფიგურული მოციგურავის შემთხვევაში, რომელიც ხელებს იჭერს), კუთხური სიჩქარე უნდა შეიცვალოს, რათა ნამრავლი მუდმივი შენარჩუნდეს.