Articolo sulla seconda legge di Newton sul moto rotatorio.
4.1 La relazione tra il momento della forza, il momento d'inerzia e l'accelerazione angolare
Se su un oggetto di massa (m) agisce una forza risultante (ΣF), l'oggetto si muove linearmente con una certa accelerazione (a). La relazione tra forza risultante, massa e accelerazione è espressa dall'equazione:
Σ F = ma
Questa è l'equazione della seconda legge di Newton .
Le grandezze del moto rotatorio che sono identiche alla forza risultante (ΣF) nel moto lineare sono il momento risultante della forza (Στ). Le grandezze del moto rotatorio che sono identiche alla massa (m) nel moto lineare sono i momenti d'inerzia (I). La grandezza del moto rotatorio che è identica all'accelerazione (a) nel moto lineare è l'accelerazione angolare (α).
Se su un oggetto con un certo momento d'inerzia (I) agisce un momento risultante di forza (Στ), allora l'oggetto ruota con una certa accelerazione angolare (α). La relazione tra il momento risultante di forza, il momento d'inerzia e l'accelerazione angolare è espressa dalla seguente equazione:
Στ = I α
Questa equazione è un'analogia rotazionale della seconda legge di Newton.
4.2 Esempi di problemi relativi alla seconda legge di Newton sul moto rotatorio.
Esempio di problema 1.
Carrucola piena con massa di 1 kg e raggio di 10 cm, sui bordi è avvolta una corda, un'estremità della corda è appesa con un carico di 1 kg. Si consideri la corda priva di massa. Determinare il modulo dell'accelerazione del carico in caduta libera verso il basso. (g = 10 m/s²)2)
Soluzione:
Conosciuto:
F = w = mg = (1 kg)(10 m/s 2 ) = 10 N
r = 0.1 m
Ricerca: Accelerazione del carico
Soluzione:
Innanzitutto, calcola il momento d'inerzia e il momento della forza.
Il momento d'inerzia della puleggia piena:
I = 1⁄2 mr 2 = 1⁄2 (1 kg)(0.1 m) 2
I = (0.5 kg)(0.01 m 2 ) = 0.005 kg m 2
Il momento della forza:
τ = F l = (10 N)(0.1 m) = 1 N m
Accelerazione angolare:
Accelerazione del carico:
a = rα = (0.1)(200) = 20 m/s 2
Esempio di problema 2.
Una puleggia piena di massa 2M e raggio R è avvolta da una fune, a un'estremità della quale è appeso un carico di massa m. Quando il carico viene rimosso, la puleggia ruota con accelerazione angolare. Se la puleggia è collegata a un oggetto di massa M, in modo che ruoti con la stessa accelerazione angolare, determinare la massa del carico. (I puleggia = 1/2 MR² ).
Soluzione:
Conosciuto:
Massa della puleggia piena: 2M
Il raggio della puleggia piena: R
Massa del carico: m
Ricercato: Massa di carico
Soluzione:
Calcolare il momento d'inerzia della puleggia piena, prima e dopo aver attaccato gli oggetti di massa M:
Il momento d'inerzia 1 : I = 1⁄2 mr 2 = 1⁄2
(2M)(R) 2 = MR 2
Il momento d'inerzia 2 : I = 1⁄2 mr 2 = 1⁄2
(2M + M)(R) 2 = 1⁄2 (3M)(R) 2 = 1.5 MR 2
Momento della forza esercitata dal carico sulla puleggia:
τ = F l = (m)(g)(R)
L'accelerazione angolare della puleggia è la stessa sia prima che dopo aver attaccato gli oggetti di massa M.
Massa del carico = 1.5 volte la massa del carico originale.
