Formúla Bernoullis: Meginreglur og notkun
Lögmál Bernoullis er grundvallarhugtak í vökvafræði, uppgötvað af svissneskum vísindamanni, Daniel Bernoulli, á 18. öld. Þetta lögmál útskýrir sambandið milli hraða vökvaflæðis og þrýstings innan þess flæðis. Í þessari grein verður fjallað ítarlega um formúlu Bernoullis, grunnhugtök hennar, stærðfræðilegar útleiðingar, reikningsdæmi og notkun hennar í daglegu lífi.
Að skilja formúlu Bernoullis
Formúla Bernoulli segir að í kjörflæði vökva (án núnings) sé magn vélrænnar orku (stöðuorka, hreyfiorka og þrýstingur) á rúmmálseiningu stöðugt í öllu flæðinu. Þessi formúla er sett fram sem:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{fasti} \]
Hvar:
– \(P \) er vökvaþrýstingurinn (í paskölum, Pa),
– \( \rho \) er eðlisþyngd vökvans (í kílógrömmum á rúmmetra, kg/m³),
– \(v \) er flæðihraði vökvans (í metrum á sekúndu, m/s),
– \(g \) er þyngdarhröðunin (í metrum á sekúndu í öðru veldi, m/s²),
– \(h \) er hæð vökvans yfir viðmiðunarpunktinum (í metrum, m).
Meginregla Bernoullis
Meginregla Bernoulli byggir á lögmáli um varðveislu orku. Í vökvaflæði verður heildarorkan í kerfi að vera stöðug ef engin orka bætist við eða er fjarlægð úr kerfinu. Heildarorkan á rúmmálseiningu samanstendur af:
1. Þrýstiorka (\(P \)): Orka sem myndast vegna þrýstings í vökva.
2. Hreyfiorka (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Orka sem myndast við hreyfingu vökva.
3. Þyngdarorkuorka (\( \rho gh \)): Orka sem stafar af stöðu vökva í þyngdarsviði.
Stærðfræðileg útleiðsla á formúlu Bernoullis
Til að skilja útleiðslu formúlu Bernoullis skoðum við lítið frumefni af vökva sem hreyfist í straumi með hraðanum \(v \) frá punkti 1 til punkts 2. Ef við gerum ráð fyrir að ekkert orkutap verði vegna núnings eða hita, þá hlýtur heildarorkan í punktum 1 og 2 að vera sú sama.
Heildarorkan í punkti 1 (\(E_1 \)) er:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
Heildarorkan í punkti 2 (\(E_2 \)) er:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Þar sem heildarorkan verður að vera stöðug:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Þetta er það sem kallast formúla Bernoullis.
Dæmi um útreikning með formúlu Bernoullis
Segjum sem svo að við höfum lárétta pípu þar sem vatn rennur frá punkti A til punkts B. Í punkti A er vatnshraðinn 2 m/s og þrýstingurinn 150,000 Pa. Í punkti B er vatnshraðinn 4 m/s. Þéttleiki vatnsins er 1000 kg/m³. Reiknið þrýstinginn í punkti B.
Notaðu formúlu Bernoullis:
[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B]
Þar sem pípan er lárétt, þá er h_A = h_B, þannig að hægt er að hunsa h_rho gh í báðum punktum:
[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Settu þekkt gildi í staðinn:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Reiknaðu hreyfiorkuna í báðum punktunum:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Þrýstingurinn í punkti B er því 144,000 Pa.
Beiting meginreglu Bernoullis
1. Flugvélar: Bernoulli-reglan er notuð við hönnun flugvélavængja. Lögun flugvélavængs er hönnuð þannig að lofthraðinn fyrir ofan vænginn er meiri en fyrir neðan hann. Þetta leiðir til lægri þrýstings fyrir ofan vænginn og hærri þrýstings fyrir neðan vænginn, sem skapar lyftikraft sem gerir flugvélinni kleift að fljúga.
2. Kappakstursbílar: Loftaflfræðileg hönnun kappakstursbíla notar Bernoulli-regluna til að auka hraða og stöðugleika. Vindhlífar og dreifarar eru notaðir til að stjórna loftflæði, auka niðurþrýsting og bæta veggrip ökutækisins á veginum.
3. Blóðflæði í líkamanum: Meginregla Bernoulli á einnig við um blóðflæði um æðar. Mismunur á blóðflæðishraða og þrýstingi í mismunandi líkamshlutum er hægt að rannsaka til að greina sjúkdóma.
4. Venturi-mælir: Tæki sem notað er til að mæla flæðishraða vökva í pípu. Venturi-mælir hefur þrengjandi hluta sem veldur aukningu á flæðishraða vökvans og lækkun á þrýstingi í samræmi við Bernoulli-regluna. Þrýstingsmunurinn á milli breiða og þrönga hlutans er notaður til að reikna út flæðishraðann.
5. Ilmvatnsúðarar: Ilmvatnsúðarar eða vökvaúðarar nota Bernoulli-regluna. Þegar lofti er blásið í gegnum þröngt rör minnkar loftþrýstingurinn í kringum enda rörsins, ilmvökvinn dregur hann upp í gegnum rörið og úðar honum sem fínt úða.
Þættir sem hafa áhrif á beitingu Bernoulli-reglunnar
1. Núningur: Í raun og veru eru vökvar ekki kjörinn og það er alltaf innri núningur (seigja) sem veldur orkutapi. Þetta gerir beitingu Bernoulli-lögmálsins flóknari.
2. Þjappanleiki vökva: Meginregla Bernoulli er auðveldari í notkun á óþjappanlegum vökva (eins og vatni). Fyrir lofttegundir eða þjappanlega vökva verður að aðlaga jöfnuna.
3. Ókyrrð: Meginregla Bernoullis á við um laminar (reglulegt) flæði. Í ókyrrðarflæði (óreglulegu) flæði verður greiningin flóknari.
Dæmisaga: Notkun Bernoulli-reglunnar í hönnun flugvélavængja
Hönnun flugvélvængs er klassískt dæmi um Bernoulli-lögmálið í verki. Bogadreginn efri hluti vængsins og flatur neðri hluti hans gerir lofti kleift að flæða hraðar yfir hann en undir hann. Samkvæmt Bernoulli-lögmálinu veldur hærri loftflæðishraði yfir vængnum lægri þrýstingi en undir vængnum. Þessi þrýstingsmunur skapar lyftikraftinn sem gerir flugvélinni kleift að fljúga.
Segjum sem svo að flugvél hafi 25 m² vængflatarmál. Lofthraðinn fyrir ofan vænginn er 70 m/s en fyrir neðan hann er 50 m/s. Loftþéttleikinn er 1.225 kg/m³. Reiknið út lyftikraftinn sem myndast.
1. Reiknið út þrýstingsmuninn (ΔP) með Bernoulli-formúlunni:
\[ P_{neðst} – P_{efst} = \frac{1}{2} \rho (v_{efst}^2 – v_{neðst}^2) \]
Settu þekkt gildi í staðinn:
[ΔP = (1/2) × 1.225 × (70² – 50²)]
[ΔP = (1/2) x 1.225 x (4900 – 2500)]
[ΔP = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
[ΔP = 1.225 sinnum 1200]
\[ ΔP = 1470 \, \text{Pa} \]
2. Reiknaðu lyftikraftinn (\( F_{lyfta} \)):
\[ F_{lyfta} = \DeltaP \times A \]
\[ F_{lyfta} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{lyfta} = 36,750 \, \texti{
N} \]
Þannig er lyftikrafturinn 36,750 njúton.
Niðurstaða
Lögmál Bernoullis er eitt af grundvallaratriðum vökvafræðinnar og útskýrir sambandið milli hraða og þrýstings vökva. Með því að skilja og beita formúlu Bernoullis getum við greint og hannað fjölbreytt kerfi sem fela í sér vökvaflæði, allt frá flugvélum til flæðimæla. Þó að í reynd þurfum við oft að taka tillit til þátta eins og núnings og ókyrrðar, þá er lögmál Bernoullis enn nauðsynlegt tæki til að skilja vökvafræði og hanna skilvirkar verkfræðilausnir.
