Hún er kölluð Poiseuille-jafnan því hún var uppgötvuð af hinum látna Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Eins og útskýrt hefur verið má líta á alla vökva sem kjörvökva. Kjörvökvar hafa ekki seigju. Ef við ímyndum okkur kjörvökva sem rennur í pípu, þá hreyfist hver hluti vökvans á sama hraða (v). Ólíkt kjörvökvum hafa raunverulegir vökvar, eða þeir vökvar sem við sjáum í daglegu lífi, seigju. Vegna þess að þeir hafa seigju, þá er hraði hvers hluta vökvans breytilegur þegar þeir renna í pípu, til dæmis. Vökvalagið í miðjunni hreyfist hraðar (v er stórt), en vökvalagið sem er fest við pípuna hreyfist ekki, þ.e. enn (v = 0). Þannig, frá miðju að brún pípunnar, hreyfist hver hluti vökvans á mismunandi hraða. Til að auðvelda þér skilninginn, skoðaðu myndina hér að neðan…
Upplýsingar:
R = radíus pípu/rörs
v 1 = vökvaflæði í miðju/ás rörsins
v2 = vökvaflæðishraði í fjarlægð r2 frá brún rörsins
v 3 = vökvaflæðishraði í fjarlægð r 3 frá brún rörsins
v 4 = vökvaflæðishraði í fjarlægð r 4 frá brún rörsins
r = fjarlægð
Til að tryggja að flæðishraði hvers vökva sé sá sami verður að vera þrýstingsmunur í báðum endum allra pípa eða slöngu sem vökvinn rennur um. Með vökva hér er átt við raunverulega vökva, eins og vatn eða olía sem rennur um pípu, blóð sem rennur um æðar o.s.frv. Auk þess að hjálpa raunverulegum vökva að flæða mjúklega getur þrýstingsmunur einnig gert vökvum kleift að flæða í pípum í mismunandi hæð.
Jean Louis Marie Poiseuille, fyrrverandi franskur vísindamaður sem hafði áhuga á eðlisfræðilegum þáttum blóðrásar manna, framkvæmdi rannsóknir til að kanna hvernig þættir eins og þrýstingsmunur, þversniðsflatarmál rörs og stærð rörsins hafa áhrif á hraða raunverulegs vökva. Niðurstöðurnar sem Jean Louis Marie Poiseuille fékk eru þekktar sem Poiseuille-jöfnunin.
Poiseuille-jöfnuna er hægt að leiða út með því að nota fyrri útleiddu seigjustuðulsjöfnuna. Við notum seigjustuðulsjöfnuna vegna þess að tilfellið er svipað, þó ekki eins. Þegar við leiðum út seigjustuðulsjöfnuna lítum við á flæði raunverulegs vökvalags milli tveggja samsíða platna, og vökvinn getur hreyfst vegna togkraftsins (F). Munurinn er sá að Poiseuille-jafnan sem við munum leiða út segir í raun til um þá þætti sem hafa áhrif á flæði raunverulegs vökva í röri/röri, og vökvinn flæðir vegna þrýstingsmismunar. Þess vegna þarf að aðlaga seigjustuðulsjöfnuna aftur.
Vökvar geta flætt vegna þrýstingsmunar (vökvar flæða frá stöðum með háum þrýstingi til staða með lágum þrýstingi), þannig að við skiptum út F fyrir p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Þegar við reiknum út jöfnuna fyrir seigjustuðulinn skoðum við flæði raunverulegs vökvalags milli tveggja samsíða platna. Hver hluti vökvans upplifir reglulega hraðabreytingu um fjarlægðina l. Í þessu tilfelli breytist flæðishraði vökvans reglulega frá ás rörsins að brún rörsins. Vökvinn við ás rörsins rennur með meiri hraða (v). Því lengra að brúninni, því minni er hraði vökvans. Radíus rörsins = fjarlægðin milli ás rörsins og brúnarinnar = R. Fjarlægðin milli hvers hluta vökvans og brúnarinnar = r. Þar sem fjöldi hvers hluta vökvans er mjög mikill og fjarlægð þeirra frá brún rörsins er einnig breytileg, skrifum við það einfaldlega svona:
v 1 = hraði vökvans í fjarlægð r1 frá brún rörsins (r1 = R)
v2 = hraði vökvans í fjarlægð r2 frá brún rörsins (r2 < r1)
v3 = hraði vökvans í fjarlægð r3 frá brún rörsins (r3 < r2 < r1)
v 4 = hraði vökvans í fjarlægð r4 frá brún rörsins (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = vökvahraði í fjarlægð rn frá brún rörsins (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Fjöldi hvers hluta vökvans er mjög mikill og við vitum ekki nákvæmlega hversu mikill hann er í raun og veru, svo það er nóg að skrifa hann með tákninu n. Hver hluti vökvans upplifir reglulega breytingu á hraða (v), frá ás rörsins (r1 = R) að brún rörsins (rn). Frá ás rörsins (r1 = R) að brún rörsins (rn) minnkar hraði hvers hluta vökvans (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Af ofangreindri útskýringu getum við fengið þá hugmynd að frá R til rn minnkar vökvahraðinn. Lengd pípunnar = L. Jafnan sem fæst er:
Þar sem við erum að skoða hraðann (v) á vökvaflæði, verður jafna 2:
Þetta er jafnan fyrir vökvaflæði í fjarlægð r frá pípu með radíus R. Ef þú ert ruglaður þegar þú horfir á myndina hér að ofan ... Athugið að vökvinn rennur í pípu eða slöngu, þannig að við þurfum að skoða rúmmálsflæði vökvans.
Inni í rörinu er vökvi. Til dæmis skiptum við vökvanum í mjög smáa bita, þar sem hver hluti hefur flatarmálseiningu dA, er fjarlægður frá ás rörsins og hefur rennslishraða v. Stærðfræðilega má rita þetta á eftirfarandi hátt:
dA1 = vökvahluti 1, sem er fjarlægðin 1 frá ás rörsins
dA2 = vökvahluti 2, sem er fjarlægðin 2 frá ás rörsins
dA3 = vökvahluti 3, sem er fjarlægðin 3 frá ás rörsins
………………………………….
dA n = vökvasnið n, sem er fjarlægðin dA n frá ás rörsins
Það eru svo margir vökvahlutar að það er þægilegt að skrifa þá einfaldlega með tákninu n. Rúmmálsflæði hvers vökvahluta má skrifa stærðfræðilega á eftirfarandi hátt:
Hver vökvabútur er í fjarlægð frá r = 0 til r = R (R = radíus rörsins). Með öðrum orðum, fjarlægð hvers vökvabúts er breytileg þegar hún er mæld frá ás rörsins. Ef við fiktum við í stærðfræðireikningi (samþættingu) fáum við jöfnuna fyrir rúmmálsflæði vökvans í rörinu:
Upplýsingar:
Q = Debet
R = Innri radíus pípu eða slöngu
η = Seigjustuðull
P 1 – p 2 = Þrýstingsmunur milli enda pípunnar
L = Lengd pípu
p1 -p2 / L = Þrýstingshalla (vökvaflæði fer alltaf í átt að lækkandi þrýstingi )
Miðað við Poiseuille-jöfnuna hér að ofan virðist sem rúmmálsflæði vökvans, einnig þekkt sem útrennsli (Q), sé í réttu hlutfalli við fjórða veldi radíusar rörsins (R4 ) , þrýstingshalla (p2 – p1 / L) og í öfugu hlutfalli við seigjuna. Ef radíus rörsins er aukinn (seigjustuðullinn og þrýstingshallalinn haldast stöðugir) þá eykst vökvaflæði um þáttinn 16.
Grunnhugmyndin um hönnun pípa, sprautna og annars notar þessa jöfnu. Vökvaflæði er í réttu hlutfalli við R₄ ( R = radíus rörsins). Radíus sprautunnar eða radíus rörsins þarf að reikna vandlega út. Til dæmis, ef við tvöföldum radíus nálarinnar (r x 2), þá eykur vökvaflæði sem úðar þrýstikraft þumalfingursins um 16 sinnum.
Jafna Poiseuille sýnir einnig að fjórða veldi radíusins (r4 ) er í öfugu hlutfalli við þrýstingsmuninn á milli tveggja enda pípunnar. Til dæmis, upphaflega rennur blóð í æð með innri radíus r. Ef þrenging verður á æðinni (til dæmis, r/2 = innri radíus æðarinnar minnkar um 2), þá þarf 16-faldan þrýstingsmun til að blóðið flæði eins og áður (þannig að útrennslið eða blóðrúmmálsflæðishraðinn haldist stöðugur).
