Samlagning, frádráttur og margföldun margliða
Margliður eru grundvallarhugtak í algebru sem notað er til að leysa mörg stærðfræðileg vandamál. Margliður eru segðir sem samanstanda af breytum og stuðlum, sem eru settar saman með aðgerðunum samlagning, frádráttur og margföldun. Í þessari grein munum við ræða samlagningu, frádrátt og margföldun margliða ítarlega, sem og gefa raunhæf dæmi til að hjálpa til við að skilja þessi hugtök.
Skilgreining á margliðu
Áður en við förum ofan í grunnaðgerðir skulum við fyrst skilja hvað margliða er. Margliða er hægt að skilgreina sem tjáningu sem samanstendur af summu liða, þar sem hver liður er margfeldi fastrar tölu, sem kallast stuðul, og breytu, venjulega táknað með bókstaf eins og \(x\), \(y\) eða \(z\). Einfalt dæmi um margliðu er \(3x^2 + 2x + 1\).
Margliðuþættir
1. Stuðull: Föst tala sem margfaldar breytu, til dæmis í \(3x^2\), 3 er stuðullinn.
2. Breyta: Stafur sem táknar gildi sem er ekki fast, eins og \(x\) í \(3x^2\).
3. Stig: Stærsta veldi breytu í margliðu. Til dæmis, í \(3x^2 + 2x + 1\), er stigið 2.
Samlagning margliða
Samlagning margliða er ferlið við að sameina tvær eða fleiri margliður með því að bæta við jafngildum liðum, það er að segja liðum sem hafa breytur með sama veldisvísi.
Viðbótarreglur
1. Finndu samsvarandi ættbálka.
2. Leggðu saman stuðla jafngildra liða.
3. Ef enginn samsvarandi liður er til staðar, þá helst liðurinn í lokaniðurstöðunni.
Dæmi um viðbót
Segjum sem svo að við viljum leggja saman eftirfarandi tvær margliður:
\[ P(x) = 3x^2 + 2x + 1 \]
\[ Q(x) = 5x^2 + 4x + 6 \]
Fyrsta skrefið er að bera kennsl á samsvarandi hugtök:
– \(3x^2\) og \(5x^2\)
– \(2x\) og \(4x\)
– \(1\) og \(6\)
Síðan leggjum við saman stuðlana:
\[(3 + 5)x^2 + (2 + 4)x + (1 + 6) \]
\[ 8x^2 + 6x + 7 \]
Þannig að niðurstaðan af því að leggja saman \(P(x)\) og \(Q(x)\) er \(8x^2 + 6x + 7\).
Margliðufrádráttur
Frádráttur í margliðu er svipaður og samlagning, en við drögum frá stuðla jafngildra liða.
Lækkunarregla
1. Finndu samsvarandi ættbálka.
2. Dragðu stuðlana frá jafngildisliðunum.
3. Ef enginn samsvarandi liður er til staðar, þá helst liðurinn í lokaniðurstöðunni.
Dæmi um frádrátt
Fyrir sama margliðudæmi viljum við draga \(P(x)\) frá \(Q(x)\):
\[ P(x) = 3x^2 + 2x + 1 \]
\[ Q(x) = 5x^2 + 4x + 6 \]
Fyrsta skrefið er að bera kennsl á samsvarandi hugtök:
– \(3x^2\) og \(5x^2\)
– \(2x\) og \(4x\)
– \(1\) og \(6\)
Síðan drögum við frá stuðlana:
\[(5 – 3)x^2 + (4 – 2)x + (6 – 1) \]
\[ 2x^2 + 2x + 5 \]
Þannig að niðurstaðan af því að draga \(Q(x)\) frá \(P(x)\) er \(2x^2 + 2x + 5\).
Margfeldi margföldun
Margföldun margliða er örlítið flóknari en samlagning og frádráttur því hún felur í sér að dreifa hverjum lið í einu margliðu með hverjum lið í hinu marglidunni og síðan leggja saman niðurstöðurnar.
Margföldunarreglur
1. Hver liður í fyrstu margliðunni er margfaldaður með hverjum lið í annarri margliðunni.
2. Notaðu veldisvísisregluna til að sameina liðina: \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\).
3. Leggðu saman öll samsvarandi liði til að fá lokaniðurstöðuna.
Dæmi um margföldun
Við munum margfalda þau með tveimur einföldum margliðum:
\[ P(x) = 2x + 3 \]
\[ Q(x) = x^2 + 4x + 5 \]
Fyrsta skrefið er að margfalda hvern lið í \(P(x)\) með hverjum lið í \(Q(x)\).
\[
\begin{samræma}
(2x + 3) ⋅ (x^2 + 4x + 5) & = 2x ⋅ x^2 + 2x ⋅ 4x + 2x ⋅ 5 + 3 ⋅ x^2 + 3 ⋅ 4x + 3 ⋅ 5
&= 2x^3 + 8x^2 + 10x + 3x^2 + 12x + 15
\end{align}
\]
Síðan leggjum við saman samsvarandi liði:
\[
2x^3 + (8x^2 + 3x^2) + (10x + 12x) + 15
\]
Þetta gefur okkur:
\[
2x^3 + 11x^2 + 22x + 15
\]
Þannig að niðurstaðan af margföldun P(x) og Q(x) er 2x^3 + 11x^2 + 22x + 15).
Niðurstaða
Samlagning, frádráttur og margföldun margliða eru grundvallaraðgerðir í stærðfræði. Að vita hvernig á að stjórna þessum aðgerðum hjálpar okkur að takast á við flóknar jöfnur og föll.
Við samlagningu og frádrátt þurfum við aðeins að einbeita okkur að því að raða eins liðum og sameina stuðla þeirra. Margföldun, hins vegar, krefst sérstakrar varúðar við að beita dreifingu á alla liði og síðan leggja saman niðurstöðurnar.
Með því að skilja þessar grunnaðgerðir munt þú hafa sterkan grunn í algebrulegri stærðfræði sem hægt er að beita á fjölbreytt vandamál í frekara námi og í daglegu lífi.
