Líkur á samsettum atburðum: Hugtak og notkun á ýmsum sviðum
Pendahuluan
Líkindafræði er mjög mikilvæg grein stærðfræðinnar og er oft notuð í daglegu lífi. Í þessari grein munum við ræða líkindi samsettra atburða, sem hefur ýmsa notkunarmöguleika á ýmsum sviðum eins og hagfræði, tölfræði, félagsvísindum og vísindum. Samsett líkindi eru hugtak sem notað er til að ákvarða líkurnar á að fleiri en einn atburður eða atburðir eigi sér stað samtímis. Þessi grein mun útskýra ítarlega grunnhugtakið samsett líkindi, gerðir þess og notkun þess í raunveruleikanum.
Skilgreining á líkum á samsettum atburðum
Líkur á samsettum atburði eru líkurnar á því að fleiri en einn atburður eigi sér stað í tilraun. Í líkindafræði er hægt að reikna út líkur á samsettum atburði með því að nota nokkrar grunnreglur, allt eftir eðli sambandsins milli atburðanna. Það eru tvær megingerðir atburðatengsla sem venjulega eru teknar með í reikninginn þegar líkur á samsettum atburði eru reiknaðar: atburðir sem útiloka hvor annan og atburðir sem eru óháðir.
Gagnkvæmt útilokandi atburðir
Gagnkvæmt útilokandi atburðir eru atburðir sem geta ekki gerst samtímis. Til dæmis, þegar teningi er kastað, er talan sem birtist efst á teningnum ein af tölunum 1 til 6. Þannig að ef atburðurinn þar sem teningur er kastað 3 er einn af atburðunum þar sem teningur er kastað 5, þá getur atburðurinn þar sem teningur er kastað 5 ekki gerst samtímis.
Helsti styrkur gagnkvæmt útilokandi atburða er að sameiginleg líkindi tveggja gagnkvæmt útilokandi atburða eru summa líkindanna á hvorum atburði fyrir sig. Stærðfræðilega séð, ef A og B eru gagnkvæmt útilokandi atburðir, þá:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B)]
Gagnkvæmt óháðir atburðir
Gagnkvæmt óháðir atburðir eru atburðir þar sem atburður eins atburðar hefur ekki áhrif á líkur á að hinn atburðurinn eigi sér stað. Einfalt dæmi um gagnkvæmt óháða atburði er að kasta tveimur peningum samtímis. Útkoma annarrar peningsins hefur ekki áhrif á útkomu hinnar.
Fyrir óháða atburði eru sameiginlegar líkur atburðanna tveggja margfeldi líkindanna á hvorum atburði fyrir sig. Stærðfræðilega séð, ef A og B eru óháðir atburðir, þá:
[P(A ≈ B) = P(A) sinnum P(B)]
Að reikna út líkur á samsettum atburðum
Eftir að hafa skilið grunnhugtakið samsetta atburði munum við nú ræða hvernig á að reikna út líkurnar á samsettum atburðum út frá ýmsum gerðum atburða.
Líkur á gagnkvæmum útilokandi atburðum
Fyrir gagnkvæmt útilokandi atburði, eins og áður hefur komið fram, er hægt að reikna sameiginlegu líkurnar með því að leggja saman líkurnar á hvorum atburði fyrir sig. Til dæmis, ef við höfum tvo gagnkvæmt útilokandi atburði A og B með líkunum P(A) = 0.3 og P(B) = 0.4, þá eru líkurnar á að annar hvor atburðurinn eigi sér stað:
[P(A ≤ B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.4 = 0.7]
Líkur á óháðum atburðum
Fyrir óháða atburði notum við margföldunarregluna. Til dæmis, ef við höfum tvo óháða atburði A og B með líkindum P(A) = 0.5 og P(B) = 0.2, þá eru líkurnar á að þessir tveir atburðir eigi sér stað samtímis:
[P(A) × B) = P(A) × P(B) = 0.5 × 0.2 = 0.1]
Líkur á atburðum eru ekki gagnkvæmt útilokandi og eru ekki óháðar hver annarri
Í tilvikum þar sem atburðir eru hvorki gagnkvæmt útilokandi né óháðir, verður útreikningur á líkindum aðeins flóknari. Við þurfum að nota:
[P(A µg B) = P(A) + P(B) – P(A µg B)]
Og ef nauðsyn krefur gætum við einnig þurft að vita hvernig á að reikna út \( P(A \cap B) \) ef þau eru ekki laus við frekari upplýsingar.
Beiting líkinda á samsettum atburðum
Fjármála- og fjárfestingarheimurinn
Í fjármálum og fjárfestingum er hugtakið samsett líkindi mikið notað til að mæla og stjórna áhættu. Til dæmis nota fjármálagreinendur líkindi til að meta líkur á ýmsum fjárfestingarniðurstöðum og til að búa til bestu eignasöfn. Þeir geta notað líkindalíkön til að ákvarða líkur á tapi við mismunandi markaðsaðstæður.
Félagsvísindi og tölfræði
Í félagsvísindum er líkindafræði notuð til að skilja flókin félagsleg fyrirbæri. Til dæmis gæti rannsakandi haft áhuga á tengslum menntunar og tekna. Í því tilfelli gæti hann notað samsetta atburði til að greina kannanagögn og draga ályktanir um líkurnar á að einn atburður (t.d. að fá háar tekjur) eigi sér stað út frá öðrum atburði (t.d. að hafa ákveðna menntun).
Náttúruvísindi og verkfræði
Í vísindum og verkfræði eru líkindafræði notuð til að hanna tilraunir og túlka niðurstöður tilrauna. Til dæmis, í eðlisfræði gætu vísindamenn haft áhuga á að vita líkurnar á að tiltekin efnahvörf eigi sér stað við ákveðnar aðstæður. Í verkfræði gætu verkfræðingar notað líkindafræði til að reikna út áreiðanleika kerfa og hanna endingargóðar vörur.
Dæmisaga: Spilakortaleikir
Við skulum taka einfalt dæmi úr heimi spilaleikja til að skilja betur notkun hugtaksins um samsetta atburði. Segjum sem svo að við höfum staðlaðan spilastokk með 52 spilum og viljum reikna út líkurnar á að draga ás eða kóng.
Það eru 4 ásar og 4 kóngar í spilastokki. Atburðirnir þar sem ás (A) er dreginn og kóng (B) eru gagnkvæmt útilokandi því við getum ekki dregið bæði spilin í einu. Þess vegna eru sameiginlegar líkur þessara tveggja atburða:
[P(A ⋅B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \u.þ.b. 0.1538 \]
Þannig að líkurnar á að við drögum ás eða kóng úr spilastokki eru um 15.38%.
Niðurstaða
Líkur á mörgum atburðum eru mjög gagnlegt hugtak og hefur fjölbreytt notkunarsvið á mismunandi sviðum. Að skilja hvernig á að reikna út líkur á mörgum atburðum getur hjálpað okkur að taka betri ákvarðanir og skilja heiminn í kringum okkur á ríkari hátt. Hvort sem er í fjármálum, félagsvísindum eða vísindum eru líkur kjarninn í rökréttri greiningu og ákvarðanatöku. Með því að skilja og beita líkum á mörgum atburðum getum við kafað dýpra í gögnin og tekið nákvæmari spár og ákvarðanir.
