Dæmi um umræðuspurningu um stærð staðsetningar
Mælikvarðar á staðsetningu eru mikilvægt efni í ýmsum fræðigreinum, einkum tölfræði, hagfræði og stjórnun. Mælikvarðar á staðsetningu ná yfir fjölbreytt úrval mælikvarða sem notaðir eru til að magngreina hlutfallslega stöðu gagna innan tiltekinnar dreifingar, svo sem fjórðunga, tíundu, hundraðshluta og svo framvegis. Að skilja hvernig á að mæla og greina mælingar á staðsetningu er lykilatriði fyrir fjölbreytta gagnagreiningu, ákvarðanatöku og rannsóknarstarfsemi.
Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um vandamál sem tengjast staðsetningarmælingum og hvernig á að leysa þau. Markmið þessara vandamála er að skýra hugtakið og notkun staðsetningarmælinga í ýmsum samhengjum.
Dæmispurning 1: Útreikningur á fjórðungstölum
Spurning:
Gefin eru eftirfarandi gögn: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 30. Reiknið út Q1 (fyrsta fjórðung), Q2 (miðgildi/annar fjórðung) og Q3 (þriðja fjórðung).
Lausn:
Fyrsta skrefið í útreikningi á fjórðungstölum er að raða gögnunum frá minnsta til stærsta. Í þessu dæmi eru gögnin þegar flokkuð.
– n (fjöldi gagna) = 10
Útreikningur á Q1:
Q1 er gildið sem er í stöðunni \(\frac{n + 1}{4}\).
\[
Q1 = 10 + 1/4 = 11/4 = 2.75
\]
Þar sem niðurstöðurnar eru ekki kringlóttar notum við interpolation á milli annars og þriðja gagnanna.
2. gögn = 7
3. gögn = 8
\[
Q1 = 7 + 0.75 \times (8 – 7) = 7 + 0.75 = 7.75
\]
Útreikningur á Q2 (miðgildi):
Q2 er gildið sem er í miðstöðu. Þar sem n er slétt tala er Q2 meðaltal gildanna í 5. og 6. sæti.
\[
Q2 = 13 + 14/2 = 27/2 = 13.5
\]
Útreikningur á Q3:
Q3 er gildið sem er í stöðunni \(\frac{3(n + 1)}{4}\).
\[
Q3 = \frac{3 \times (10 + 1)}{4} = \frac{33}{4} = 8.25
\]
Við notum interpolation milli 8. og 9. gagnanna.
8. gögn = 21
9. gögn = 23
\[
Q3 = 21 + 0.25 \times (23 – 21) = 21 + 0.5 = 21.5
\]
Þannig að Q1 = 7.75, Q2 = 13.5 og Q3 = 21.5.
Dæmi um spurningu 2: Notkun hundraðshluta
Spurning:
Gefið eftirfarandi gagnasafn: 15, 18, 20, 24, 30, 32, 35, 40, 42, 45. Ákvarðið 70. hundraðshlutann.
Lausn:
Fyrsta skrefið er að ganga úr skugga um að gögnin séu flokkuð frá minnsta til stærsta og að gögnin að ofan séu flokkuð.
Fjöldi gagna, n = 10
70. hundraðshlutinn þýðir að við erum að leita að gildinu sem er í 70% sæti af heildargögnunum.
\[
P_{70} = \frac{70}{100} \times (n + 1) = 0.70 \times 11 = 7.7
\]
Þar sem niðurstaðan er ekki heiltala notum við innsetningu á milli fjórðu og fimmtu gagnanna.
7. gögn = 35
8. gögn = 40
\[
P_{70} = 35 + 0.7 x (40 – 35) = 35 + 3.5 = 38.5
\]
Þannig að 70. prósentil gildi gagnasafnsins er 38.5.
Dæmispurning 3: Útreikningur á tíundum
Spurning:
Miðað við eftirfarandi prófunarniðurstöður: 55, 63, 67, 72, 75, 78, 80, 82, 86, 90. Reiknið út fjórða tíundina (D4).
Lausn:
Fyrsta skrefið er að tryggja að gögnin séu flokkuð frá minnsta til stærsta. Gögnin hér að ofan eru þegar flokkuð.
Fjöldi gagna, n = 10
Fjórða tíundin þýðir að við erum að leita að gildi sem er í 40% sæti af heildargögnunum.
\[
D_4 = \frac{4 \times (n + 1)}{10} = \frac{4 \times 11}{10} = 4.4
\]
Þar sem niðurstaðan er ekki heiltala notum við innsetningu á milli fjórðu og fimmtu gagnanna.
4. gögn = 72
5. gögn = 75
\[
D_4 = 72 + 0.4 \times (75 – 72) = 72 + 1.2 = 73.2
\]
Þannig að fjórða tíundi gagnasafnið er 73.2.
Dæmispurning 4: Notkun í tekjudreifingu
Spurning:
Í hagfræðirannsókn voru safnað gögnum um mánaðarlegar tekjur fjölda einstaklinga á eftirfarandi tíma: 2000, 2200, 2400, 2500, 2700, 3000, 3200, 3500, 3700, 4000, 4200, 4500, 4700, 5000, 5500. Ákvarðið miðgildi og fjórðungatölur gagnasafnsins.
Lausn:
Fyrst tryggjum við að gögnin séu flokkuð frá minnsta til stærsta og að gögnin að ofan séu flokkuð.
Fjöldi gagna, n = 15
Að reikna miðgildið (Q2):
Miðgildið er gögnin sem eru í miðjunni.
\[
Miðgildi staðsetningar = \frac{n + 1}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8
\]
8. gögn = 3500
Þannig að miðgildið (Q2) er 3500.
Útreikningur á Q1:
Q1 er gildið sem er í stöðunni \(\frac{n + 1}{4}\).
\[
Q1 = 15 + 1/4 = 16/4 = 4
\]
4. gögn = 2500
Svo, þriðji ársfjórðungur er 2500.
Útreikningur á Q3:
Q3 er gildið sem er í stöðunni \(\frac{3(n + 1)}{4}\).
\[
Q3 = \frac{3 \times (15 + 1)}{4} = \frac{3 \times 16}{4} = 12
\]
12. gögn = 4500
Svo, þriðji ársfjórðungur er 4500.
Þannig að miðgildið (Q2) er 3500, Q1 er 2500 og Q3 er 4500.
Niðurstaða
Dreifingarmælingar eru afar gagnleg verkfæri í gagnagreiningu og hjálpa okkur að skilja og túlka gagnadreifingu. Með því að nota mælingar eins og fjórðunga, tíundu og hundraðshluta getum við fengið skýrari mynd af dreifingu og þróun gagnanna sem verið er að greina. Þessi grein veitir nokkur dæmi um vandamál og lausnir í von um að hjálpa lesendum að skilja hvernig á að reikna út og beita dreifingarmælingum í ýmsum aðstæðum.
