Dæmi um spurningar sem fjalla um umbreytingu falla
Fallbreytingar eru lykilhugtök í stærðfræði, sérstaklega í algebru og fallgreiningu. Þessar umbreytingar ná yfir ýmsar aðgerðir eins og hliðrunar, speglun, útvíkkanir og snúningar á grafi falls. Að skilja hvernig fallbreytingar virka og geta beitt þeim á vandamál er dýrmæt færni, bæði í fræðilegu samhengi og í daglegum verklegum tilgangi.
Þessi grein fjallar um nokkur dæmi um fallbreytingarvandamál, ásamt útskýringum, til að gefa skýrari mynd af því hvernig beita má þessum hugtökum. Áður en við köfum ofan í dæmin skulum við skoða nokkrar algengar gerðir fallbreytinga:
1. Þýðing (færsla):
– Lárétt hliðrun: \( f(x) \longrightarrow f(x – h) \) þar sem \( h \) er magn hliðrunarinnar til hægri eða vinstri.
– Lóðrétt færslu: \( f(x) \longrightarrow f(x) + k \) þar sem \( k \) er magn færslnarinnar upp eða niður.
2. Íhugun (Reflection):
– Speglun um x-ásinn: f(x) longrightarrow -f(x)).
– Speglun um y-ásinn: f(x) longrightarrow f(-x)).
3. Útvíkkun (breyting á kvarða):
– Lárétt útvíkkun: \( f(x) \longrightarrow f(cx) \) þar sem \( c \) er lárétti kvarðstuðullinn.
– Lóðrétt útvíkkun: \( f(x) \longrightarrow af(x) \) þar sem \( a \) er lóðrétti kvarðstuðullinn.
Með þennan grunnskilning munum við halda áfram að skoða nokkur dæmi um umbreytingarvandamál.
Dæmispurning 1: Lárétt færsla
Spurning: Gefið fallið \(f(x) = x^2 \). Ákvarðið form fallsins eftir að það hefur verið hliðrað um 3 einingar til hægri.
Umræða:
Lárétt hliðrun færir graf fallsins eftir \(x \) ásnum. Hliðrun til hægri um 3 einingar er hliðrun sem:
\[ f(x-3) \]
Við skiptum því út hverjum \(x \) fyrir \(x – 3 \) í upprunalegu fallinu:
[f(x-3) = (x-3)^2]
Þannig að fallið, sem fært er til hægri um 3 einingar, er:
\[ (x-3)^2 \]
Dæmispurning 2: Lóðrétt þýðing
Spurning: Gefið fallið \(g(x) = \sqrt{x} \). Ákvarðið form fallsins eftir að því hefur verið hliðrað 4 einingar upp.
Umræða:
Lóðrétt hliðrun færir graf fallsins eftir y-ásnum. Hliðrun upp á við um 4 einingar er hliðrun sem:
\[ g(x) + 4 \]
Þannig að fallið eftir að það hefur verið fært upp á við er:
\[ \sqrt{x} + 4 \]
Dæmispurning 3: Speglun um x-ásinn
Spurning: Gefið fallið _(h(x) = _sin(x)_). Ákvarðið form fallsins eftir að það hefur verið speglað um _(x_) ásinn.
Umræða:
Speglun um x-ásinn breytir formerki fallsins. Við margföldum því fallið með -1:
\[ -h(x) \]
Þannig að fallið eftir speglun um x-ásinn er:
\[-\sin(x) \]
Dæmispurning 4: Speglun um y-ásinn
Spurning: Gefið fallið \(j(x) = e^x \). Ákvarðið form fallsins eftir að það hefur verið speglað um \(y \) ásinn.
Umræða:
Speglun um y-ásinn breytir formerki breytunnar x. Þess vegna skiptum við út hverjum x fyrir (-x):
\[ j(-x) \]
Þannig að fallið eftir speglun um y-ásinn er:
\[ e^{-x} \]
Dæmi um spurningu 5: Lóðrétt útvíkkun
Spurning: Gefið fallið \(f(x) = \cos(x) \). Ákvarðið form fallsins þegar lóðrétt útvíkkun er framkvæmd með þáttinum 2.
Umræða:
Lóðrétt útvíkkun felur í sér að margfalda fall með lóðréttum kvarðastuðli. Við margföldum því fallið með 2:
\[ 2f(x) \]
Þannig að fallið eftir lóðrétta útvíkkun um þáttinn 2 er:
\[ 2 \cos(x) \]
Dæmispurning 6: Samsetning láréttra og lóðréttra færslu
Spurning: Gefið fallið _(k(x) = _ln(x)_). Ákvarðið form fallsins eftir að það hefur verið hliðrað 2 einingar til vinstri og 3 einingar niður.
Umræða:
Í fyrsta lagi er færsla um 2 einingar til vinstri færð sem \(k(x+2) \). Í öðru lagi er færsla um 3 einingar niður færð sem:
\[ k(x+2) – 3 \]
Þannig að fallið eftir þessa þýðingarsamsetningu er:
\[ \ln(x+2) – 3 \]
Dæmispurning 7: Samsetning endurspeglunar og útvíkkunar
Spurning: Gefið fallið \(m(x) = x^3 \). Ákvarðið form fallsins eftir að því hefur verið speglað um \(y \) ásinn og lóðrétt útvíkkun með þáttinum 1/2 er framkvæmd.
Umræða:
Í fyrsta lagi er speglun um y-ásinn færð sem m(-x)). Í öðru lagi er lóðrétt útvíkkun um þáttinn 1/2 færð sem:
\[ \frac{1}{2} m(-x) \]
Þannig að fallið eftir þessa samsetningu af endurspeglun og útvíkkun er:
\[ \frac{1}{2}(-x)^3 = -\frac{1}{2}x^3 \]
Dæmispurning 8: Lárétt útvíkkun
Spurning: Gefið fallið n(x) = tan(x)). Ákvarðið form fallsins þegar lárétt útvíkkun er framkvæmd með þáttinum 3.
Umræða:
Lárétt útvíkkun felur í sér að margfalda breytuna \(x \) með 1/c (þar sem \(c \) er lárétti kvarðstuðullinn). Við margföldum því breytuna \(x \) með 1/3:
\[ n(\frac{x}{3}) \]
Þannig að fallið eftir lárétta útvíkkun um þáttinn 3 er:
[ \tan(\frac{x}{3}) \]
Lokun
Að skilja umbreytingar falla, þar á meðal hliðrunar, speglun og útvíkkun, er afar gagnlegt í stærðfræði og notkun hennar. Með því að æfa og leysa ýmis vandamál sem fela í sér umbreytingar falla, munt þú skerpa á hæfni þinni til að sjá fyrir sér og spá fyrir um breytingar á lögun fallgrafa.
Þessi grein býður upp á nokkur dæmi um verkefni til að hjálpa þér að læra um fallbreytingar. Hvert dæmi er fylgt eftir af ítarlegri umræðu til að tryggja að þú skiljir hugtökin. Áframhaldandi æfing með fjölbreytt verkefni mun hjálpa þér að verða færari í að skilja og beita fallbreytingum.
