Dæmispurningar um þrjá þríhyrningshlutföll
Hornafræði er grein stærðfræðinnar sem rannsakar samband lengdar og horna í þríhyrningum. Eitt af grundvallarhugtökum í hornafræði eru hornafræðileg hlutföll: sínus (sin), kósínus (cos) og snertill (tan). Þessi grein fjallar um nokkur dæmi og ítarlega umfjöllun um hornafræðileg hlutföll til að auðvelda skilning þinn.
1. Að skilja þrjú þríhyrningshlutföll
Fyrst af öllu, skulum við skilja hvað átt er við með sínus, kósínus og tangens.
– Sínus (sinus) horns er hlutfallið milli lengdar gagnstæðrar hliðar hornsins og lengdar lágsíðunnar í þríhyrningnum.
– Kósínus (cos) horns er hlutfallið milli lengdar aðliggjandi hliðar hornsins og lengdar lágsíðunnar í þríhyrningnum.
– Snertilinn (tan) í horni er hlutfallið milli lengdar gagnstæðrar hliðar hornsins og lengdar aðliggjandi hliðar. Snertilinn má einnig tákna sem kvóta sínus og kósínus: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
2. Dæmi um spurningar og umræður
Spurning 1:
Gefið rétthyrndan þríhyrning með lághlið 10 cm og gagnstæða hlið θ sem er 6 cm. Ákvarðið gildi sin, cos og tan hornsins θ.
Umræða:
Til að finna gildi sin(θ), cos(θ) og tan(θ) þurfum við einnig að vita lengd aðliggjandi hliðar. Notum Pýþagórasarregluna til að finna lengd aðliggjandi hliðar.
Pýþagórasarreglan:
\[ a^² + b^² = c^² \]
þar sem c er lághliðin, a er móthlið hornsins og b er aðliggjandi hlið hornsins.
Gefið:
– Lágþrýstingur (c) = 10 cm
– Framhlið hornsins θ (a) = 6 cm
Svo:
\[ a^² + b^² = c^² \]
\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[36 + b^2 = 100 \]
\[ b^2 = 64 \]
\[ b = \sqrt{64} \]
\[b = 8 \]
Þannig að lengd hliðarinnar (b) er 8 cm.
Næst getum við reiknað gildi sínus, kósínus og tangens:
– Sin(θ) = gagnstæð hlið / lágstúka
\[ \sin(θ) = \frac{6}{10} = 0.6 \]
– Cos(θ) = Hliðarhlið / Langhlið
\[ \cos(θ) = \frac{8}{10} = 0.8 \]
– Tan(θ) = Framhlið / Hlið
\[ \tan(θ) = \frac{6}{8} = 0.75 \]
Spurning 2:
Gefið rétthyrndan þríhyrning þar sem gagnstæð hlið hornsins α er 5 cm löng og aðliggjandi hlið hornsins α er 12 cm löng. Finnið gildi sin, cos og tan hornsins α.
Umræða:
Rétt eins og í spurningu 1, notum Pýþagórasarregluna til að finna lengd lágslægðarinnar.
Gefið:
– Framhlið hornsins α (a) = 5 cm
– Hliðin við hornið α (b) = 12 cm
Notaðu Pýþagórasarregluna:
\[ a^² + b^² = c^² \]
\[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[25 + 144 = c^2 \]
\[ 169 = c^2 \]
\[c = \sqrt{169} \]
\[c = 13 \]
Þannig að lengd lágslægðarinnar (c) er 13 cm.
Næst getum við reiknað gildi sínus, kósínus og tangens:
– Sin(α) = gagnstæð hlið / lágstúka
\[ \sin(α) = \frac{5}{13} \]
– Cos(α) = Hliðarhlið / Langhlið
\[ \cos(α) = \frac{12}{13} \]
– Tan(α) = Framhlið / Hlið
[\tan(α) = \frac{5}{12} \]
Spurning 3:
Ef vitað er að sin β = 0.6 og hornið β liggur í fjórðungi I, finnið þá gildi cos β og tan β.
Umræða:
Gefið að sin β = 0.6
Við vitum að í fjórðungi I er gildi cos β einnig jákvætt.
Notið grunn þríhyrningsfræðilegar einingar:
\[ \sin^2(β) + \cos^2(β) = 1 \]
\[ (0.6)^2 + \cos^2(β) = 1 \]
[0.36 + \cos^2(β) = 1 \]
[cos²(β) = 1 – 0.36]
[cos²(β) = 0.64]
[cos(β) = ≈ 0.64]
\[ \cos(β) = 0.8 \]
Næst getum við reiknað út snertigildið:
\[ \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]
\[ \tan(β) = \frac{0.6}{0.8} \]
[\tan(β) = 0.75 \]
3. Kesimpulan
Hugtakið þríhyrningur (sin, cos, tan) er grundvallaratriði og lykilatriði til að skilja þríhyrningafræði almennt. Með því að skilja hvernig á að finna og reikna þessi þrjú gildi í mismunandi gerðum þríhyrninga er hægt að leysta fjölbreytt þríhyrningaverkefni. Verkefnin sem rædd eru hér að ofan ættu að hjálpa þér að skilja hvernig á að beita þessum hugtökum í ýmsum samhengjum.
Góð skilningur á þríhyrningsfræði mun einnig auðvelda þér að læra flóknari efni í stærðfræði og vísindum, svo sem stærðfræðigreiningu og eðlisfræði. Ekki hika við að halda áfram að æfa þig og dýpka skilning þinn á þessum hugtökum til að ná hærra stigi sérþekkingar.
