Dæmispurningar um línuleg ójöfnukerf
Línuleg ójöfnukerfi er grein stærðfræðinnar sem fjallar um tengslin milli nokkurra línulegra ójöfnna. Þetta kerfi samanstendur af tveimur eða fleiri ójöfnum sem þarf að leysa til að finna lausnarmengi sem uppfyllir allar ójöfnurnar samtímis. Umræða um línuleg ójöfnukerfi er oft að finna í stærðfræðinámskrá á unglinga- og framhaldsskólastigi, bæði í prófspurningum og daglegum æfingum.
Línuleg ójöfnukerfi hafa fjölmörg raunveruleg notkunarsvið, allt frá hagræðingu auðlinda og fjárhagsáætlunargerð til flutninga. Að skilja þessi hugtök er ekki aðeins mikilvægur til að leysa stærðfræðidæmi í skóla heldur undirbýr það einnig nemendur til að leysa dagleg vandamál á rökréttan og skilvirkan hátt. Hér að neðan eru nokkur dæmi um vandamál og umræður um línuleg ójöfnukerfi.
Dæmi um spurningu 1
Spurning:
Ákvarðið lausnarmengi eftirfarandi ójöfnukerfis:
\[
\begin{tilfelli}
x + y ≤ 6
x – y ≤ 2
\end{tilfelli}
\]
Umræða:
1. Teiknaðu mörk fyrir hverja ójöfnu:
Fyrir \(x + y ≤ 6\) drögum við línuna \(x + y = 6\):
– Þegar \(x = 0\), þá gefur \(y = 6\) punktinn (0, 6).
– Þegar \(y = 0\), þá gefur \(x = 6\) punktinn (6, 0).
Fyrir \(x – y \geq 2\) drögum við línuna \(x – y = 2\):
– Þegar \(x = 2\), þá gefur \(y = 0\) punktinn (2, 0).
– Þegar \(y = -2\), þá gefur \(x = 0\) punktinn (0, -2).
2. Ákvarðið byggðasvæðið:
– Línan \(x + y = 6\) skiptir því í tvö svæði og við athugum einn prófunarpunkt sem er ekki á línunni, til dæmis punktinn (0, 0):
\[
0 + 0 ≤ 6 ≤ (true)
\]
Þannig að svæðið sem uppfyllir skilyrðið er fyrir neðan eða vinstra megin við línuna \(x + y = 6\).
– Línan \(x – y = 2\) skiptir skjánum aftur í tvö svæði og við athugum punktinn (0, 0):
\[
0 – 0 ≤ 2 (ósatt)
\]
Þannig að svæðið sem uppfyllir skilyrðið er fyrir ofan eða hægra megin við línuna \(x – y = 2\).
3. Ákvarðið skurðpunkt svæðanna tveggja:
Lausnin á kerfinu er svæðið sem uppfyllir báðar ójöfnurnar. Við leitum að skurðpunkti svæðanna tveggja sem samsvarar stefnu hvorrar ójöfnu.
Niðurstaða:
Lausnarmengi fyrir línuleg ójöfnukerfi er allir punktar í skurðpunkti tveggja svæða sem uppfylla skilyrðin \(x + y ≤ 6\) og \(x – y ≤ 2\).
Dæmi um spurningu 2
Spurning:
Ákvarðið lausnarmengi eftirfarandi kerfis línulegra ójöfnna í fyrsta fjórðungi:
\[
\begin{tilfelli}
2x + 3y ≥ 12
x ≤ 0
y \geq 0 \\
\end{tilfelli}
\]
Umræða:
1. Teiknaðu mörk fyrir hverja ójöfnu:
Fyrir 2x + 3y = 12 drögum við línuna 2x + 3y = 12:
– Þegar \(x = 0\), þá gefur \(y = 4\) punktinn (0, 4).
– Þegar \(y = 0\), þá gefur \(x = 6\) punktinn (6, 0).
2. Ákvarðið byggðasvæðið:
– Lína \(2x + 3y = 12\) og prófunarpunktur (0, 0):
\[
2(0) + 3(0) ≤ 12 (true)
\]
Þannig að svæðið sem uppfyllir skilyrðin er fyrir neðan eða vinstra megin við línuna \(2x + 3y = 12\).
– \(x \geq 0\) og \(y \geq 0\) gefa til kynna að lausnarpunkturinn er í fyrsta fjórðungi.
3. Ákvarðið skurðpunkt svæðanna tveggja:
Lausnin á kerfinu er svæðið í fyrsta fjórðungi sem er fyrir neðan eða vinstra megin við línuna \(2x + 3y = 12\).
Niðurstaða:
Lausnarmengi fyrir línuleg ójöfnukerfi er þeir punktar í fyrsta fjórðungi sem uppfylla ∫2x + 3y ≤ 12⁻¹.
Dæmi um spurningu 3
Spurning:
Ákvarðið lausnarmengi eftirfarandi ójöfnukerfis:
\[
\begin{tilfelli}
y ≤ 2x – 3
y ≤ x + 1
\end{tilfelli}
\]
Umræða:
1. Teiknaðu mörk fyrir hverja ójöfnu:
Fyrir \(y \geq 2x – 3\) drögum við línuna \(y = 2x – 3\):
– Þegar \(x = 0\), þá gefur \(y = -3\) punktinn (0, -3).
– Þegar \(y = 0\), þá gefur \(x = 1,5\) punktinn (1.5, 0).
Fyrir \(y = -x + 1\) teiknum við línuna \(y = -x + 1\):
– Þegar \(x = 0\), þá gefur \(y = 1\) punktinn (0, 1).
– Þegar \(y = 0\), þá gefur \(x = 1\) punktinn (1, 0).
2. Ákvarðið byggðasvæðið:
– Línan \(y \geq 2x – 3\) er prófuð með punktinum (0, 0):
\[
0 ≈ 2(0) – 3 ≈ (true)
\]
Þannig að svæðið sem uppfyllir skilyrðið er fyrir ofan eða hægra megin við línuna \(2x – 3\).
– Línan \(y \leq -x + 1\) er prófuð með punktinum (0, 0):
\[
0 ≤ 0 + 1 ≤ (\text{true})
\]
Þannig að svæðið sem uppfyllir skilyrðið er fyrir neðan eða vinstra megin við línuna \(-x + 1\).
3. Ákvarðið skurðpunkt svæðanna tveggja:
Lausnin á kerfinu er svæðið sem uppfyllir báðar ójöfnurnar. Við erum að leita að skurðpunktinum milli ójöfnanna tveggja.
Niðurstaða:
Lausnarmengi línulegra ójöfnna er punktarnir í skurðpunkti svæðisins sem uppfylla Σ(y₀₂ − 3) og Σ(y₀₂ -x + 1).
Með því að skilja hvernig á að leysa ójöfnukerfi línulegra ójöfnna er vonast til að nemendur verði færari í að leysa stærðfræðileg vandamál og beita þessum hugtökum í daglegum aðstæðum. Vonandi munu þessi dæmi og umræður hjálpa nemendum að læra og skilja grunnhugtök ójöfnukerfa línulegra ójöfnna.
