Dæmi um umræðuspurningu um línulegt jöfnukerfi
Línuleg jöfnukerfi (e. linear equations, SLE) eru grundvallarhugtök sem oft eru kennd í stærðfræði bæði á framhalds- og háskólastigi. Það er mikilvægt að ná góðum tökum á SLE vegna útbreiddrar notkunar þess á ýmsum sviðum, allt frá eðlisfræði og hagfræði til verkfræði. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um línuleg jöfnukerfi og lausnir þeirra. Við munum nota staðgengils-, útrýmingar- og fylkjaaðferðir til að auðvelda skilning.
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmispurning 1: Staðgengisaðferð
Spurning:
Leysið eftirfarandi jöfnukerfi með því að nota staðgengilsaðferðina:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Lausn:
1. Fyrsta skrefið er að leysa eina af jöfnunum fyrir eina af breytunum. Til dæmis getum við leyst aðra jöfnuna fyrir \(x\):
\[x – 2y = -3 \]
\[x = 2y – 3 \]
2. Settu \(x = 2y – 3\) inn í fyrstu jöfnuna:
\[ 2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[ 4y – 6 + 3y = 8 \]
\[ 7y – 6 = 8 \]
\[7y = 14 \]
\[y = 2 \]
3. Settu nú \(y = 2\) inn í jöfnuna \(x = 2y – 3\):
\[x = 2(2) – 3 \]
\[x = 4 – 3 \]
\[x = 1 \]
Þannig að lausnin á jöfnukerfinu er \(x = 1 \) og \(y = 2 \).
Dæmispurning 2: Útrýmingaraðferð
Spurning:
Leysið eftirfarandi jöfnukerfi með útrýmingaraðferðinni:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Lausn:
1. Fyrsta skrefið er að gera stuðulinn fyrir eina af breytunum eins í báðum jöfnunum. Við getum margfaldað hina jöfnuna með 2 til að gera stuðulinn fyrir \(y\) eins:
\[ 2(5x – y) = 2(9) \]
\[ 10x – 2y = 18 \]
2. Leggðu saman tvær jöfnur til að útrýma \(y\):
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[13x = 30 \]
\[x = \frac{30}{13} \]
3. Setjið \(x = \frac{30}{13} \) inn í fyrstu jöfnuna:
[3(\frac{30}{13}\hægri) + 2y = 12]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{66}{13} \]
\[y = \frac{33}{13} \]
Lausnirnar á jöfnukerfinu eru því \(x = \frac{30}{13} \) og \(y = \frac{33}{13} \).
Dæmispurning 3: Fylkisaðferð (Gaussísk útrýming)
Spurning:
Leysið eftirfarandi jöfnukerfi með fylkjaaðferðinni:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Lausn:
1. Stækkað fylkisform jöfnukerfisins:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 og -1 og 3 og | og 14 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
2. Gaussísk útrýmingaraðferð:
– Breyttu annarri röðinni í niðurstöðu annarrar raðarinnar mínus tvöfalda fyrstu röðina:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 og -3 og 1 og | og 2 \\
4 & 2 & -1 & | & 2
\end{pmatrix} \]
– Breyttu þriðju röðinni í niðurstöðu þriðju röðarinnar mínus fjórum sinnum fyrstu röðina:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 og -3 og 1 og | og 2 \\
0 og -2 og -5 og | og -22
\end{pmatrix} \]
– Breyttu þriðju röðinni í niðurstöðu þriðju röðarinnar plús tvo þriðju hluta af annarri röðinni:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 og -3 og 1 og | og 2 \\
0 og 0 og -4 og | og -20
\end{pmatrix} \]
– Breyttu þriðju röðinni í niðurstöðu þriðju röðarinnar deilt með -4:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 og -3 og 1 og | og 2 \\
0 og 0 og 1 og | og 5
\end{pmatrix} \]
– Breytið annarri röðinni í niðurstöðu annarrar raðarinnar ásamt þriðju röðinni:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 og -3 og 0 og | og -3 \\
0 og 0 og 1 og | og 5
\end{pmatrix} \]
– Breyttu annarri röðinni í niðurstöðu annarrar raðar deilt með -3:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 og 0 og 1 og | og 5
\end{pmatrix} \]
– Breyttu fyrstu röðinni í niðurstöðu fyrstu röðarinnar að frádregnum annarri röðinni og þriðju röðinni:
\[ \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & 0 & | & 1 \\
0 og 0 og 1 og | og 5
\end{pmatrix} \]
Lausnirnar á jöfnukerfinu eru því \(x = 0 \), \(y = 1 \) og \(z = 5 \).
Niðurstaða
Að skilja aðferðir til að leysa línulegar jöfnur er lykilatriði til að ná góðum tökum á stærðfræði. Staðgengis-, útrýmingar- og fylkjaaðferðir bjóða upp á ýmsar leiðir til að finna rétta lausnina. Með stöðugri æfingu og traustum skilningi á hugtökunum getur hver sem er náð tökum á þessum aðferðum og beitt þeim í fjölbreyttum samhengjum. Vonandi munu dæmin sem fjallað er um í þessari grein hjálpa lesendum að skilja betur og ná tökum á línulegum jöfnum.
