Dæmispurningar um þríhyrningshlutföll í píramídum
Pendahuluan
Í meginatriðum er þríhyrningsfræði grein stærðfræðinnar sem rannsakar tengslin milli horna og hliða þríhyrninga. Þríhyrningsfræðileg hlutföll eru mikilvæg á ýmsum sviðum eins og eðlisfræði, verkfræði og jafnvel byggingarlist. Eitt besta dæmið um notkun þríhyrningsfræði í byggingarlist eru píramídarnir í Egyptalandi. Í þessari grein munum við ræða þríhyrningsfræðileg hlutföll með dæmum sem tengjast píramídum.
Inngangur að þríhyrningsfræði í píramídunum
Egypsku píramídarnir, sérstaklega píramídarnir í Gísa, eru mjög frægir byggingar og hafa verið rannsóknarefni margra stærðfræðinga og arkitekta. Einn af nauðsynlegum þáttum píramída er þríhyrningurinn. Þríhyrninga má finna bæði í sniðmyndum og þversniðum.
Úr pýramída getum við fundið rétthyrnda þríhyrninga, jafnhliða þríhyrninga og ýmsar aðrar þríhyrningslaga form. Notkun hornafræði er mjög gagnleg til að ákvarða stærðir, hæð og halla pýramída.
Dæmi um vandamál
Spurning 1: Að reikna út hæð píramída
„Segjum sem svo að píramídi hafi grunnlengd upp á 150 metra og hallandi brún (apotem) upp á 130 metra. Hver er hæð píramídans?“
Umræða:
Í þessu dæmi er gefinn lághlið og lengd grunnlínu pýramídans. Til að reikna út hæð pýramídans getum við notað reglu Pýþagórasar. Pýramídanum má skipta í tvo rétthyrnda þríhyrninga.
1. Við þurfum að finna helminginn af lengd grunnhliðarinnar til að mynda rétthyrndan þríhyrning.
\( \text{Helmingur lengdar grunnhliðar} = \frac{150}{2} = 75 \text{ metrar} \)
2. Við vitum að:
(a² + b² = c²)
þar sem \(a\) er helmingur lengdar grunnhliðarinnar, \(b\) er hæð píramídans og \(c\) er lághliðin.
3. Settu tölurnar inn í jöfnuna:
\( 75^2 + b^2 = 130^2 \)
4. Reiknaðu út:
\(5625 + b^2 = 16900 \)
\(b^2 = 16900 – 5625 \)
\(b^2 = 11275 \)
(b = 11275 kílómetrar)
Þannig er hæð píramídans um 106.2 metrar.
Spurning 2: Að reikna út hallahorn pýramída
„Hvert er hallahornið á apótem píramída miðað við botn píramída sem hefur 150 metra langa grunnhlið og 106.2 metra hæð?“
Umræða:
Til að finna hallahornið (\(\theta\)) apótemsins miðað við grunn píramídans getum við notað hornrétta fallið, þ.e. snertilinn (\(\tan\)).
1. Notið formúluna \(\tan(\theta) = \frac{\text{hæð}}{\frac{\text{grunn}}{2}}\).
2. Sláðu inn tölurnar:
(\tan(\theta) = \frac{106.2}{75} \)
3. Reiknaðu út:
(\tan(\theta) \u.þ.b. 1.416 \)
4. Finndu hornið með því að nota öfuga snertilinn (\(\tan^{-1}\)):
(θ = tan^{-1}(1.416) \u.þ.b. 54.14^\circ \)
Þannig er hallahorn apótemsins miðað við botn pýramídans um 54.14 gráður.
Spurning 3: Að reikna út lengd apótemsins með sínus og kósínus
„Segjum sem svo að píramídi sé 120 metra hár og hallahorn apótems píramídans að botni hans sé 55 gráður. Hver er lengd apótemsins?“
Umræða:
Við getum notað sínus- eða kósínusfallið til að leysa þetta vandamál.
1. Notaðu kósínus til að leysa þetta og mundu:
(\cos(\theta) = \frac{\text{Aðliggjandi}}{\text{Stighypotenusa}})
2. Endurraðaðu jöfnunni fyrir lághliðina (apothem):
(\(\text{Stighypotenusa} = \frac{\text{Aðliggjandi}}{\cos(\theta)} \)
3. Sláðu inn tölurnar:
(\text{Stigstuðull} = \frac{120}{\cos(55^\circ)}\)
4. Reiknaðu út:
(cos(55°C) = u.þ.b. 0.5736)
(\(\text{Stiglengd} = \frac{120}{0.5736} \approx 209.3 \text{ metrar} \)
Þannig er lengd apótemsins um 209.3 metrar.
Niðurstaða
Í dæminu hér að ofan höfum við notað ýmis hornafræðileg hlutföll til að reikna út hæð, hallahorn og apótemlengd pýramída. Með skilningi á hornafræði getum við leyst ýmis rúmfræðileg vandamál sem gætu virst flókin við fyrstu sýn. Hornafræði veitir ómetanlegt tæki til að skilja og leysa vandamál sem við lendum í í hinum raunverulega heimi, sérstaklega í byggingarfræðilegu samhengi eins og egypsku pýramídunum.
