Dæmispurningar og umræða um heildræn forrit
Heildun er grundvallarhugtak í stærðfræðireikningi sem hefur fjölmargar notkunarmöguleika á ýmsum sviðum vísinda, svo sem eðlisfræði, hagfræði, líffræði og verkfræði. Heildun er notuð til að reikna flatarmál undir ferli, rúmmál fasts efnis, vinnu, þrýsting og fleira. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um heildunarforrit og síðan ítarlegar útskýringar á því hvernig á að leysa þau.
1. Að ákvarða flatarmálið undir ferlinum
Ein algengasta notkun heilda er að reikna flatarmál undir ferlinum á falli yfir gefið bil. Segjum sem svo að við viljum finna flatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlinum \(y = x^2\) og \(x\) ásnum frá \(x = 0\) til \(x = 2\).
Dæmi um vandamál:
Ákvarðið flatarmálið undir ferlinum \(y = x^2\) frá \(x = 0\) til \(x = 2\).
Umræða:
Til að finna flatarmálið undir ferlinum \(y = x^2\) frá \(x = 0\) til \(x = 2\) þurfum við að reikna ákveðna heildið af fallinu:
[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Skref 1: Ákvarðið heildið af \(x^2\).
Athugið að heildið af \(x^2\) er:
[\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C\]
Skref 2: Beittu heildarmörkum \(0\) á \(2\).
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
Skref 3: Reiknaðu út mörkin.
\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Þannig að flatarmálið undir ferlinum \(y = x^2\) frá \(x = 0\) til \(x = 2\) er \( \frac{8}{3} \) flatarmálseining.
2. Útreikningur á rúmmáli snúningshluta
Heildir eru einnig notaðar til að reikna út rúmmál snúningsfrumna. Ef svæði er snúið um x-ásinn er hægt að finna rúmmál hlutarins með diskaaðferðinni eða hringaaðferðinni.
Dæmi um vandamál:
Reiknið rúmmál hlutarins sem myndast þegar svæðið sem afmarkast af ferlinum _(y = \sqrt{x}_) og línunni _(x = 4_) er snúið um _(x_) ásinn.
Umræða:
Til að finna rúmmál snúningsfasts efnis getum við notað diskaaðferðina. Rúmmál \(V\) þess fasta efnis sem myndast má tákna sem:
[V = π_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx]
Þar sem f(x) = √x), a = 0 og b = 4.
Skref 1: Myndaðu rúmmálsheildið.
[V = π_{0}^{4} (x)^2, dx]
Skref 2: Einfaldaðu fallið í heildinu.
[V = π \int_{0}^{4} x \, dx \]
Skref 3: Ákvarðið heildið af \(x\).
[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
Skref 4: Beitið takmörkunum \(0\) til \(4\).
[V = π[x²/²]_0⁻⁴]
Skref 5: Reiknaðu út mörkin.
[ \frac{x^2}{2} \|_{0}^{4} = \pí \( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \) = \pí \( \frac{16}{2} \) = 8\pí \]
Þannig að rúmmál hlutarins sem myndast er \(8\pí\) rúmmálseiningum.
3. Að reikna út vinnu sem breytilegur kraftur vinnur
Heildunarforrit finnast einnig í eðlisfræði, þar á meðal að reikna út vinnu sem breytilegur kraftur vinnur þegar hlutur færist frá einum punkti til annars.
Dæmi um vandamál:
Krafturinn \(F(x) = 3x^2\) Newtons verkar á ögn sem færist frá \(x = 1\) metra til \(x = 3\) metra. Reiknið vinnuna sem krafturinn vinnur.
Umræða:
Vinna \(W\) sem krafturinn \(F(x)\) vinnur má finna með því að reikna heildið af \(F(x)\) yfir tilfærsluna frá \(a\) til \(b\):
[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Þar sem \(a = 1\), \(b = 3\) og \(F(x) = 3x^2\).
Skref 1: Myndaðu heilduna af verkinu.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Skref 2: Ákvarðið heildið af \(3x^2\).
[\int 3x^2\, dx = 3\left(\frac{x^3}{3}\right) = x^3 + C\]
Skref 3: Beitið takmörkunum \(1\) til \(3\).
\[ W = \vinstri[ x^3 \hægri]_{1}^{3} \]
Skref 4: Reiknaðu út mörkin.
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Þannig að vinnan sem krafturinn vinnur er 26 joule.
4. Ákvörðun vatnsþrýstings
Í eðlisfræði eru heildur einnig notaðar til að reikna út vatnsþrýsting á yfirborði sem er sökkt í vökva.
Dæmi um vandamál:
Lóðrétt plata, 6 metra há og 4 metra breið, er sökkt í vatn með toppinn upp fyrir vatnsyfirborðið. Reiknið út heildarþrýsting vatnsþrýstingsins á plötuna.
Umræða:
Þrýstingurinn á dýpi h í vatni er gefinn með P = rho gh, þar sem rho er eðlisþyngd vatns (um það bil 1000 kg/m³) og g er þyngdarhröðunin (um það bil 9.8 m/s²).
Til að reikna heildarþrýstingskraftinn verðum við að samþætta þrýstinginn yfir lóðrétta flatarmál plötunnar.
Skref 1: Ákvarðið þrýstingsfallið.
\[ P(y) = \rho gy \]
Skref 2: Heildarkrafturinn \(F\) er heildið af þrýstingnum margfaldað með grunnflatarmálinu \(dA\) frá \(y = 0\) til \(y = 6\).
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Skref 3: Einfaldaðu fastana.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Skref 4: Ákvarðið heildið af \(y\).
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
Skref 5: Beitið takmörkunum \(0\) til \(6\).
[F = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 [\frac{y^2}{2} ⋅ 0}^6]]
Skref 6: Reiknaðu út mörkin.
[F = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 ⋅ \frac{6^2}{2} = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 ⋅ 18 = 705600]
Þannig að heildarþrýstingurinn sem vatnsþrýstingurinn verkar á plötuna er \(705600\) Newton.
Niðurstaða
Notkun heildanna í ýmsum forritum veitir gríðarlega greiningargetu til að reikna flóknar eðlisfræðilegar stærðir. Í þessari grein höfum við fjallað um hvernig heildunum er beitt til að reikna flatarmál undir ferli, rúmmál snúningsefnis, vinnu sem breytilegur kraftur vinnur og vatnsþrýsting. Með góðum skilningi á samþættingartækni getum við leyst fjölbreytt hagnýt vandamál sem koma upp í vísindum og verkfræði.
