Dæmi um spurningar og umræður um notkun heilda við útreikning á flatarmáli flatrar fletar
Í stærðfræðikennslu eru heildur oft notaðar í stærðfræðireikningi. Ein þekktasta notkun heilda er að reikna flatarmál undir ferli eða fleti. Í þessari grein verða nokkur dæmi um vandamál og fjallað um notkun heilda við útreikning á flatarmáli fleti.
Inngangur að kenningum
Áður en við förum yfir í dæmið skulum við fara yfir grunnhugtakið um útreikning á flatarmáli undir ferli með því að nota heildur. Ef við höfum fall f(x) sem er samfellt á bilinu [a, b], þá er flatarmálið undir ferlinum y = f(x) frá x = a til x = b:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Rúmfræðilega þýðir þetta að við erum að leggja saman flatarmál mjög þunns rétthyrnings frá x = a til x = b.
Dæmi um spurningu 1
Soal
Reiknið flatarmálið undir ferlinum y = x² í bilinu [1, 3].
Umræða
Til að reikna flatarmálið notum við heildarfallið:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Við byrjum á að finna mótafleiðu \(x^2 \). Mótafleiða \(x^2 \) er \( \frac{x^3}{3} \). Þá verður heildið:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Mundu að við verðum að meta andafleiðuna á mörkum heildarinnar:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
[L = (27/3) – (1/3)]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Þannig að flatarmálið undir ferlinum y = x² frá x = 1 til x = 3 er:
\[ \frac{26}{3} \, \text{flatarmálseining} \]
Dæmi um spurningu 2
Soal
Ákvarðið flatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlinum y = x³ og línunum x = 1 og x = 2.
Umræða
Til að reikna flatarmálið notum við heildarfallið:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Eins og venjulega byrjum við á að finna mótafleiðuna af \(x^3 \). Mótafleiðan af \(x^3 \) er \( \frac{x^4}{4} \). Heildurinn verður:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Metið takmörk heildarinnar:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
[L = (16/4) – (1/4)]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Þannig að flatarmálið undir ferlinum y = x³ frá x = 1 til x = 2 er:
\[ \frac{15}{4} \, \text{flatarmálseining} \]
Dæmi um spurningu 3
Soal
Ákvarðið flatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlunum y = x² + 1 og y = 2x + 2 á bilinu x = 0 til x = 1.
Umræða
Fyrst þurfum við að finna skurðpunktana til að ákvarða mörk heildunarinnar. Lausnin á \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Með því að nota annars stigs formúluna:
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Hins vegar, fyrir efri og neðri mörkin milli 0 og 1, þurfum við ekki að nota annars stigs lausnina, heldur bara venjulegt heildarmörk 0 til 1. Næst skaltu reikna flatarmál efstu y-kúrfunnar að frádregnum neðstu y-kúrfunni samkvæmt þessum mörkum:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Einföldun virkni:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Næst finnum við mótafleiðuna:
Andafleiðan af \( (-x^2) \) er \( -\frac{x^3}{3} \),
Andafleiðan af \( (2x) \) er \( x^2 \),
Andafleiðan af \((1) \) er \(x \).
Svo að,
[L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Næsta mat:
\[ L = \left[-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \vinstri[\frac{1}{3} + 1 + 1 \] – \vinstri[ \] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Þannig að flatarmál svæðisins sem afmarkast af ferlunum y = x² + 1 og y = 2x + 2 á bilinu [0, 1] er:
\[ \frac{5}{3} \, \text{flatarmálseining} \]
-
Af dæmunum hér að ofan sjáum við hvernig hægt er að nota heildur til að reikna flatarmál undir ferli eða á milli tveggja ferla. Með réttri skilningi á grunnhugtökum heilda og afleiðuviðnámsaðferða verður útreikningur þessara flatarmála mjög kerfisbundinn og skilvirkur. Vonandi hefur þessi grein aukið skilning okkar á notkun heilda í raunveruleikanum, sérstaklega á sviði mælinga á flatarmáli flatra yfirborða.
