Dæmispurningar sem fjalla um líkur á samsettum atburðum
Inngangur að líkindum samsettra atburða
Líkindafræði er grein stærðfræðinnar sem rannsakar líkur á að atburður eigi sér stað. Líkurnar á samsettum atburði eru líkurnar á atburði sem felur í sér fleiri en einn atburð. Til dæmis eru líkurnar á að kasta jöfnum tölum á teningi og ás úr spilastokki dæmi um samsetta atburði. Þessi grein mun fjalla um nokkur dæmi um vandamál og ræða líkur á samsettum atburðum.
Grunnhugtakið líkur á samsettum atburðum
Það eru tvær gerðir af samsettum atburðum:
1. Gagnkvæmt útilokandi atburðir: Tveir atburðir sem geta ekki átt sér stað samtímis. Til dæmis, þegar teningi er kastað, eru atburðirnir 2 og 5 gagnkvæmt útilokandi atburðir því það er ómögulegt að kasta báðum tölunum samtímis.
2. Atburðir sem útiloka ekki hvorn annan: Tveir atburðir sem geta gerst samtímis. Til dæmis, í spilum þar sem spilað er, eru atburðirnir að fá hjartaspil (♥) og spil með tölunni 10 ekki gagnkvæmt útilokandi atburðir þar sem það er hjartaspil með tölunni 10.
Hér eru nokkrar grunnformúlur sem notaðar eru til að reikna út líkur á samsettum atburðum:
– P(A eða B) (fyrir atburði sem útiloka ekki hvor annan): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A eða B) (fyrir gagnkvæmt útilokandi atburði): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A og B) (fyrir óháða atburði): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Dæmi um spurningar og umræður
Dæmispurning 1: Teningar
Spurning:
Hverjar eru líkurnar á að fá jafna tölu eða tölu stærri en 4 á teningi?
Umræða:
Fyrst skulum við skilgreina atburðina:
– Atburður A: Að fá slétta tölu (2, 4, 6)
– Atburður B: Að fá tölu stærri en 4 (5, 6)
Næst ákvörðum við líkurnar á hverjum atburði:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Þar sem talan 6 er innifalin í bæði atburðunum A og B, þurfum við að reikna út \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \capB) = \frac{1}{6}\) (því aðeins ein tala, þ.e. 6, er innifalin í bæði A og B)
Með því að nota formúluna fyrir atburði sem útiloka ekki hvor annan:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Gerum nefnara þessara brota eins:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Þannig að líkurnar á að fá slétta tölu eða tölu stærri en 4 eru \(\frac{2}{3}\).
Dæmispurning 2: Spilakort
Spurning:
Hverjar eru líkurnar á að fá ás eða spaða úr spilastokki?
Umræða:
Fyrst skulum við skilgreina atburðina:
– Atburður A: Að fá ás (4 samtals, eitt fyrir hverja lit)
– Atburður B: Að fá spaðaspil (samtals 13)
Næst ákvörðum við líkurnar á hverjum atburði:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Þar sem spaðaásinn er innifalinn í báðum atburðum A og B, þurfum við að reikna út \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Með því að nota formúluna fyrir atburði sem útiloka ekki hvor annan:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Gerum nefnara þessara brota eins:
\[
P(A ≤ B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Þannig að líkurnar á að fá ás eða spaða eru \(\frac{4}{13}\).
Dæmi um verkefni 3: Kúla í kassa
Spurning:
Í kassa eru 3 rauðar kúlur, 4 bláar kúlur og 5 grænar kúlur. Ef ein kúla er dregin af handahófi, hverjar eru líkurnar á að fá rauða eða græna kúlu?
Umræða:
Fyrst skulum við skilgreina atburðina:
– Atburður A: Að fá rauða bolta (númer 3)
– Atburður B: Að fá græna bolta (númer 5)
Næst ákvörðum við líkurnar á hverjum atburði:
– Heildarfjöldi kúlna = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Þar sem engin kúla getur verið bæði rauð og græn í einu, útiloka þessir atburðir hvor annan:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Gerum nefnara þessara brota eins:
\[
P(A ≤ B) = ∫3/12 + ∫5/12 = ∫8/12 = ∫2/3
\]
Þannig að líkurnar á að fá rauða eða græna kúlu eru \(\frac{2}{3}\).
Dæmispurning 4: Tvær mynt
Spurning:
Ef tveimur peningum er kastað samtímis, hverjar eru líkurnar á að að minnsta kosti annað höfuðið komi upp?
Umræða:
Við skilgreinum atburð A: að upplifa að minnsta kosti eina mynd.
Það eru fjórar mögulegar útkomur af því að kasta tveimur peningum:
1. HH
2. HT
3. Þ
4. TT
Atburðir sem innihalda að minnsta kosti eina mynd eru:
– HT
– Þ
– TT
Við skulum reikna út líkurnar á hverju þeirra:
– Fjöldi mögulegra atburða (samtals): 4
– Fjöldi atburða sem innihalda að minnsta kosti eina mynd: 3
\[
P(A) = \frac{Fjöldi atburða með að minnsta kosti einum höfuðhluta}{Heildarfjöldi atburða} = \frac{3}{4}
\]
Þannig að líkurnar á að að minnsta kosti ein mynd birtist eru \(\frac{3}{4}\).
Niðurstaða
Umræðan um dæmin hér að ofan sýnir hvernig við getum reiknað út líkur á samsettum atburðum, hvort sem þeir útiloka hvor annan eða ekki. Með því að skilja grunnhugtökin og nota réttar formúlur getum við ákvarðað líkur á að ákveðnar samsetningar atburða eigi sér stað í ýmsum daglegum aðstæðum. Haltu áfram að æfa þig með ýmsum dæmum til að verða færari í að ákvarða líkur á samsettum atburðum.
